Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
c) \sqrt{n}-(-1)^{n} \sqrt{n}-1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite superior (upper limit, isto é, \limsup) e o limite inferior (lower limit, isto é, \liminf) da sequência dada pelo termo geral
a_n = \sqrt{n}-(-1)^{n} \sqrt{n}-1.
Informações relevantes dadas no enunciado:
a_n=\sqrt{n}-(-1)^{n}\sqrt{n}-1,
e a sequência é indexada por n\in\mathbb{N}. Não há outras informações externas; a expressão contém o fator (-1)^n, que depende da paridade de n.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar algebricamente a expressão. Podemos fatorar \sqrt{n} nas duas primeiras parcelas:
a_n = \bigl(1-(-1)^n\bigr)\sqrt{n}-1.
Essa forma já é mais clara: o coeficiente de \sqrt{n} vale 1-(-1)^n, que assume valores diferentes conforme n é par ou ímpar.

Passo 3

Analise por paridade:
  • Se n é par então (-1)^n=1. Substituindo: a_n = \bigl(1-1\bigr)\sqrt{n}-1 = 0\cdot\sqrt{n}-1 = -1.Logo todos os termos com n par são exatamente -1.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1. Substituindo: a_n = \bigl(1-(-1)\bigr)\sqrt{n}-1 = 2\sqrt{n}-1.Esses termos crescem com n porque \sqrt{n}\to+\infty quando n\to\infty.

Passo 4

Vamos descrever as duas subsequências que aparecem:
  • A subsequência formada pelos a_n com n par é constante: a_{2k}=-1 para todo k.
  • A subsequência formada pelos a_n com n ímpar é a_{2k+1}=2\sqrt{2k+1}-1, que tende para +\infty quando k\to\infty.
É útil lembrar a definição intuitiva (e a fórmula) de \limsup e \liminf:
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \Bigl(\sup_{k\ge n} a_k\Bigr), \qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \Bigl(\inf_{k\ge n} a_k\Bigr).
Intuitivamente, \limsup é o maior valor-limite que a sequência pode aproximar ao olhar para as caudas, e \liminf é o menor valor-limite.

Passo 5

Determinação de \limsup.
Para qualquer n fixado, olhando a cauda \{a_k : k\ge n\} sempre existe algum índice ímpar k\ge n. Esses termos ímpares têm a forma 2\sqrt{k}-1, e, dado qualquer M>0, podemos escolher k ímpar suficientemente grande tal que 2\sqrt{k}-1>M. Assim a supremum da cauda é infinito:
\sup_{k\ge n} a_k = +\infty \quad\text{para todo }n.
Portanto
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \bigl(\sup_{k\ge n} a_k\bigr) = +\infty.

Passo 6

Determinação de \liminf.
Primeiro note que nenhum termo da sequência é menor que -1: os termos pares valem exatamente -1 e os termos ímpares valem 2\sqrt{n}-1\ge -1. Assim -1 é um menor limite natural. Para qualquer n fixado, existe um índice par k\ge n (os números pares não param), e para esse k temos a_k=-1. Portanto a ínfima da cauda é sempre -1:
\inf_{k\ge n} a_k = -1 \quad\text{para todo }n.
Assim
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \bigl(\inf_{k\ge n} a_k\bigr) = -1.

Passo 7

Interpretação final e conclusão: a sequência oscila entre valores fixos -1 (quando n é par) e valores que crescem sem limite (quando n é ímpar). Portanto o maior valor-limite possível é +\infty e o menor valor-limite é -1.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n = -1

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