Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite superior (upper limit, isto é,
) e o limite inferior (lower limit, isto é,
) da sequência dada pelo termo geral
Informações relevantes dadas no enunciado:
e a sequência é indexada por
. Não há outras informações externas; a expressão contém o fator
, que depende da paridade de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar algebricamente a expressão. Podemos fatorar
nas duas primeiras parcelas:
Essa forma já é mais clara: o coeficiente de
vale
, que assume valores diferentes conforme
é par ou ímpar.
Passo 3
Analise por paridade:
- Se
é par então . Substituindo: Logo todos os termos com par são exatamente . - Se
é ímpar então . Substituindo: Esses termos crescem com porque quando .
Passo 4
Vamos descrever as duas subsequências que aparecem:
- A subsequência formada pelos
com par é constante: para todo . - A subsequência formada pelos
com ímpar é , que tende para quando .
É útil lembrar a definição intuitiva (e a fórmula) de
e
:
Intuitivamente,
é o maior valor-limite que a sequência pode aproximar ao olhar para as caudas, e
é o menor valor-limite.
Passo 5
Determinação de
.
Para qualquer fixado, olhando a cauda
sempre existe algum índice ímpar
. Esses termos ímpares têm a forma
, e, dado qualquer
, podemos escolher
ímpar suficientemente grande tal que
. Assim a supremum da cauda é infinito:
Para qualquer
Portanto
Passo 6
Determinação de
.
Primeiro note que nenhum termo da sequência é menor que : os termos pares valem exatamente
e os termos ímpares valem
. Assim
é um menor limite natural. Para qualquer
fixado, existe um índice par
(os números pares não param), e para esse
temos
. Portanto a ínfima da cauda é sempre
:
Primeiro note que nenhum termo da sequência é menor que
Assim
Passo 7
Interpretação final e conclusão: a sequência oscila entre valores fixos
(quando
é par) e valores que crescem sem limite (quando
é ímpar). Portanto o maior valor-limite possível é
e o menor valor-limite é
.