Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
d)
’
d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os limites superior e inferior (ou seja,
e
) da sequência cujo termo geral é
, onde
varia nos inteiros positivos.
Informações dadas: o termo geral é . Não há outros dados; quer-se justificar por que os valores encontrados são os limites superiores e inferiores.
Informações dadas: o termo geral é
Passo 2
Definição útil (explicada de forma simples): para uma sequência
,
Isto significa: para cada cauda da sequência a partir de
tomamos o maior e o menor valor daquela cauda; à medida que
cresce observamos os limites desses extremos. Outra forma prática:
é o maior ponto de acumulação (maior limite de subsequência) e
é o menor ponto de acumulação.
Passo 3
Observação sobre repetição (periodicidade): calcule
Logo a sequência é periódica com período
: os valores se repetem a cada
termos. Consequência prática: para qualquer
os valores da cauda
contêm (infinitas vezes) todos os valores que aparecem no ciclo de comprimento
. Assim basta analisar os
valores do ciclo.
Passo 4
Calcular os
valores do ciclo
para
, explicando cada cálculo:
Portanto os valores que a sequência assume (no ciclo) são
Passo 5
Identificar máximo e mínimo do conjunto de valores do ciclo: o maior valor é
e o menor é
. Como a sequência é periódica e cada valor do ciclo aparece infinitely vezes após qualquer
, para qualquer
vale
Passo 6
Tomando limites quando
nas expressões do passo anterior, obtemos
Comentário prático: a subsequência que atinge
é dada por índices
congruentes a
módulo
(por exemplo
) e a subsequência que atinge
é dada por
congruentes a
módulo
(por exemplo
). Isso mostra concretamente que
e
são pontos de acumulação e são os extremos.