Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
d) \sin \left(\frac{n \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os limites superior e inferior (ou seja, \limsup e \liminf) da sequência cujo termo geral é \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right), onde n varia nos inteiros positivos.
Informações dadas: o termo geral é \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right). Não há outros dados; quer-se justificar por que os valores encontrados são os limites superiores e inferiores.

Passo 2

Definição útil (explicada de forma simples): para uma sequência (a_n),
\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \left(\sup_{n\ge N} a_n\right),
\liminf_{n\to\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \left(\inf_{n\ge N} a_n\right).
Isto significa: para cada cauda da sequência a partir de N tomamos o maior e o menor valor daquela cauda; à medida que N cresce observamos os limites desses extremos. Outra forma prática: \limsup é o maior ponto de acumulação (maior limite de subsequência) e \liminf é o menor ponto de acumulação.

Passo 3

Observação sobre repetição (periodicidade): calcule
\sin\!\left(\frac{(n+8)\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}+2\pi\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right).
Logo a sequência é periódica com período 8: os valores se repetem a cada 8 termos. Consequência prática: para qualquer N os valores da cauda \{a_n:n\ge N\} contêm (infinitas vezes) todos os valores que aparecem no ciclo de comprimento 8. Assim basta analisar os 8 valores do ciclo.

Passo 4

Calcular os 8 valores do ciclo \sin\!\left(\frac{k\pi}{4}\right) para k=0,1,\dots,7, explicando cada cálculo:
\begin{aligned} \sin\!\left(\frac{0\pi}{4}\right)&=\sin(0)=0,\\[4pt] \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\text{(ângulo de 45º)},\\[4pt] \sin\!\left(\frac{2\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\\[4pt] \sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] \sin\!\left(\frac{4\pi}{4}\right)&=\sin(\pi)=0,\\[4pt] \sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\[4pt] \sin\!\left(\frac{6\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\\[4pt] \sin\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}âº
Portanto os valores que a sequência assume (no ciclo) são
\left\{1,\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;0,\;-\frac{\sqrt{2}}{2},\;-1\right\}.]

Passo 5

Identificar máximo e mínimo do conjunto de valores do ciclo: o maior valor é 1 e o menor é -1. Como a sequência é periódica e cada valor do ciclo aparece infinitely vezes após qualquer N, para qualquer N vale
\sup_{n\ge N} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=1, \qquad \inf_{n\ge N} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=-1.

Passo 6

Tomando limites quando N\to\infty nas expressões do passo anterior, obtemos
\limsup_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=1, \qquad \liminf_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=-1.
Comentário prático: a subsequência que atinge 1 é dada por índices n congruentes a 2 módulo 8 (por exemplo n=2,10,18,\dots) e a subsequência que atinge -1 é dada por n congruentes a 6 módulo 8 (por exemplo n=6,14,22,\dots). Isso mostra concretamente que 1 e -1 são pontos de acumulação e são os extremos.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=1
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \sin\!\left(\frac{n\pi}{4}\right)=-1

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