Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
f) \frac{1}{n^{2}} \cos \left(\frac{n \pi}{10}\right)+\left(\cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede os limites superior e inferior (isto é, \limsup e \liminf) da sequência cujo termo geral é
a_n=\frac{1}{n^{2}}\cos\!\left(\frac{n\pi}{10}\right)+\biggl(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\biggr)^{n}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A sequência é composta de duas parcelas somadas: uma pequena \frac{1}{n^{2}}\cos\!\left(\frac{n\pi}{10}\right) e outra que depende fortemente de \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) elevada a n.
  • Sabemos que \cos é limitada: \bigl|\cos(\cdot)\bigr|\le 1.
  • Não vamos assumir nada mais ainda — a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Estudo do termo \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\). Esse cosseno é periódico em \(n\) com período \(4\). Para \(n\) inteiro temos os valores (dependendo de \(n\bmod 4\)): \[\begin{aligned} \text{se } n\equiv 0\pmod{4},&\quad \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1,\\\ \text{se } n\equiv 1\pmod{4},&\quad \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0,\\\ \text{se } n\equiv 2\pmod{4},&\quad \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1,\\\ \text{se } n\equiv 3\pmod{4},&\quad \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0. \end{aligned}
Agora elevamos cada valor a n:
  • Se n é par (isto é, n\equiv 0 ou 2\pmod{4}), então \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) é 1 ou -1. Para esses n a potência \bigl(\cos(n\pi/2)\bigr)^n vale
\begin{cases} 1^n = 1 &\text{se } \cos(n\pi/2)=1,\\\ (-1)^n = 1 &\text{se } \cos(n\pi/2)=-1 \text{ e \(n é par}, \end{cases}]
logo para todo n par a segunda parcela é 1.
  • Se n é ímpar (isto é, n\equiv 1 ou 3\pmod{4}), então \cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0 e 0^n=0. Portanto para todo n ímpar a segunda parcela é 0.
Resumindo esta parte em uma fórmula simples:
\biggl(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\biggr)^{n}= \begin{cases} 1, & n\text{ par},\\[4pt] 0, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 3

Usando o resultado do passo anterior, escrevemos a_n separando os casos par/ímpar:
  • Se n é par, digamos n=2m, então
a_{2m}=1+\frac{1}{(2m)^2}\cos\!\left(\frac{2m\pi}{10}\right)=1+\frac{1}{4m^{2}}\cos\!\left(\frac{m\pi}{5}\right).
  • Se n é ímpar, digamos n=2m+1, então
a_{2m+1}=\frac{1}{(2m+1)^{2}}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{10}\right).
Aqui já vemos que a diferença entre os dois ramos é grande: para pares a sequência está perto de 1 (pois somamos 1 a algo que tende a 0), e para ímpares a sequência é algo que tende a 0.

Passo 4

Análise do limite da subsequência dos índices pares. Usamos o fato de que \bigl|\cos(\cdot)\bigr|\le 1, então
\left|\frac{1}{4m^{2}}\cos\!\left(\frac{m\pi}{5}\right)\right|\le \frac{1}{4m^{2}}.
Como \frac{1}{4m^{2}}\to 0 quando m\to\infty, pela desigualdade de comparação obtemos
\lim_{m\to\infty} \frac{1}{4m^{2}}\cos\!\left(\frac{m\pi}{5}\right)=0.
Logo
\lim_{m\to\infty} a_{2m}= \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{4m^{2}}\cos\!\left(\frac{m\pi}{5}\right)\right)=1+0=1.
Portanto a subsequência dos termos com n par converge para 1.

Passo 5

Análise do limite da subsequência dos índices ímpares. Novamente usamos \bigl|\cos(\cdot)\bigr|\le 1 para obter
\left|a_{2m+1}\right|=\left|\frac{1}{(2m+1)^{2}}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{10}\right)\right|\le \frac{1}{(2m+1)^{2}}.
Como \frac{1}{(2m+1)^{2}}\to 0 quando m\to\infty, segue que
\lim_{m\to\infty} a_{2m+1}=0.
Portanto a subsequência dos termos com n ímpar converge para 0.

Passo 6

Interpretação em termos de \limsup e \liminf. Uma propriedade útil: se uma sequência tem duas subsequências que convergem para valores distintos L_1 e L_2, então os pontos de acumulação incluem L_1 e L_2, e
\limsup_{n\to\infty} a_n = \text{maior ponto de acumulação},\qquad \liminf_{n\to\infty} a_n = \text{menor ponto de acumulação}.çãçã
Aqui encontramos exatamente dois pontos de acumulação: 1 (limite da subsequência par) e 0 (limite da subsequência ímpar). Não há outros pontos de acumulação, pois as duas subsequências cobrem todos os índices e os termos adicionais (o acréscimo \frac{1}{n^2}\cos(\cdot)) tende a zero e não cria novos limites. Portanto
\limsup_{n\to\infty} a_n = 1,\qquad \liminf_{n\to\infty} a_n=0.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n = 1
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n = 0

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