Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
g) \frac{(-1)^{n} n^{2}+3}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é \dfrac{(-1)^{n} n^{2}+3}{n+1} e pede os limites superior e inferior (isto é, \limsup e \liminf) dessa sequência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O sinal de (-1)^{n} alterna de acordo com a paridade de n (positivo para n par e negativo para n ímpar).
  • O numerador tem crescimento da ordem de n^{2} e o denominador tem ordem n, então os termos têm crescimento da ordem de n (mas com sinal alternado).
  • O pedido é determinar as duas quantidades: limite superior (maior comportamento limite possível) e limite inferior (menor comportamento limite possível).

Passo 2

Vou lembrar o que significam \limsup e \liminf de uma sequência, de um jeito prático:
  • \limsup_{n\to\infty} a_n é, intuitivamente, o valor que representa os maiores valores que a sequência atinge “no fim”; mais formalmente é o limite da sequência dos supremos das caudas: \lim_{n\to\infty} \sup\{a_k : k\ge n\}.
  • \liminf_{n\to\infty} a_n é o valor que representa os menores valores que a sequência atinge “no fim”; formalmente \lim_{n\to\infty} \inf\{a_k : k\ge n\}.
    Um jeito prático de calcular \limsup e \liminf para sequências que alternam é olhar subsequências (por exemplo, termos pares e termos ímpares): se uma subsequência tende a +\infty então a \limsup será +\infty; se outra subsequência tende a -\infty então a \liminf será -\infty.

Passo 3

Vamos analisar a subsequência dos índices pares. Tomando n=2k (com k\in\mathbb{N}), o termo geral vira
a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}(2k)^{2}+3}{2k+1}=\frac{4k^{2}+3}{2k+1}.
Faço a divisão inteira (divisão polinomial) para ver o comportamento:
(2k+1)(2k-1)=4k^{2}-1,
logo
4k^{2}+3=(2k+1)(2k-1)+4.
Dividindo, obtemos
a_{2k}=2k-1+\frac{4}{2k+1}.
Observe que 2k-1\to+\infty quando k\to\infty e \dfrac{4}{2k+1} é positivo e tende a 0. Portanto
a_{2k}\to+\infty\quad\text{quando }k\to\infty.
Isto mostra que existe uma subsequência (a dos termos pares) que diverge para +\infty.

Passo 4

Agora analiso a subsequência dos índices ímpares. Tomando n=2k+1, temos
a_{2k+1}=\frac{(-1)^{2k+1}(2k+1)^{2}+3}{2k+2}=\frac{-(2k+1)^{2}+3}{2k+2}.
Desenvolvo o quadrado e reorganizo:
-(2k+1)^{2}+3=-(4k^{2}+4k+1)+3=-4k^{2}-4k+2.
Logo
a_{2k+1}=\frac{-4k^{2}-4k+2}{2k+2}=-\frac{4k^{2}+4k-2}{2k+2}.
Factorizando 2 no denominador e no numerador ou realizando divisão polinomial, obtemos
a_{2k+1}=-\frac{2(2k^{2}+2k-1)}{2(k+1)}= -\frac{2k^{2}+2k-1}{k+1}.
Fazendo a divisão (2k^{2}+2k-1)\div(k+1) obtemos quociente 2k e resto -1, isto é
\frac{2k^{2}+2k-1}{k+1}=2k+\frac{-1}{k+1}.
Portanto
a_{2k+1}= -\left(2k+\frac{-1}{k+1}\right) = -2k+\frac{1}{k+1}.
Aqui -2k\to -\infty quando k\to\infty, e \dfrac{1}{k+1}\to 0, então
a_{2k+1}\to -\infty\quad\text{quando }k\to\infty.
Isto mostra que existe uma subsequência (a dos termos ímpares) que diverge para -\infty.

Passo 5

Com as conclusões anteriores:
  • Há uma subsequência que tende a +\infty (os termos pares). Isso implica que para todo M>0 existe N tal que, para n\ge N em uma parte da sequência (os pares), os termos ultrapassam M. Assim \sup\{a_k:k\ge n\} não pode ficar limitado por nenhum M, e portanto
\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty.
  • Há outra subsequência que tende a -\infty (os termos ímpares). Isso implica que para todo L<0 com grande magnitude existe N tal que em índices ímpares suficientemente grandes os termos ficam abaixo de L. Assim \inf\{a_k:k\ge n\} fica arbitrariamente negativo quando n cresce, e portanto
\liminf_{n\to\infty} a_n = -\infty.

Passo 6

Resposta final: a sequência não tem limite finito; os maiores valores limites vão para +\infty e os menores valores limites vão para -\infty. Vou escrever isso de forma direta.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n} n^{2}+3}{n+1}=+\infty
\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n} n^{2}+3}{n+1}=-\infty

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