Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
g)
g)
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
e pede os limites superior e inferior (isto é,
e
) dessa sequência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O sinal de
alterna de acordo com a paridade de (positivo para par e negativo para ímpar). - O numerador tem crescimento da ordem de
e o denominador tem ordem , então os termos têm crescimento da ordem de (mas com sinal alternado). - O pedido é determinar as duas quantidades: limite superior (maior comportamento limite possível) e limite inferior (menor comportamento limite possível).
Passo 2
Vou lembrar o que significam
e
de uma sequência, de um jeito prático:
-
é, intuitivamente, o valor que representa os maiores valores que a sequência atinge “no fim”; mais formalmente é o limite da sequência dos supremos das caudas: . -
é o valor que representa os menores valores que a sequência atinge “no fim”; formalmente .
Um jeito prático de calculare para sequências que alternam é olhar subsequências (por exemplo, termos pares e termos ímpares): se uma subsequência tende a então a será ; se outra subsequência tende a então a será .
Passo 3
Vamos analisar a subsequência dos índices pares. Tomando
(com
), o termo geral vira
Faço a divisão inteira (divisão polinomial) para ver o comportamento:
logo
Dividindo, obtemos
Observe que
quando
e
é positivo e tende a
. Portanto
Isto mostra que existe uma subsequência (a dos termos pares) que diverge para
.
Passo 4
Agora analiso a subsequência dos índices ímpares. Tomando
, temos
Desenvolvo o quadrado e reorganizo:
Logo
Factorizando
no denominador e no numerador ou realizando divisão polinomial, obtemos
Fazendo a divisão
obtemos quociente
e resto
, isto é
Portanto
Aqui
quando
, e
, então
Isto mostra que existe uma subsequência (a dos termos ímpares) que diverge para
.
Passo 5
Com as conclusões anteriores:
- Há uma subsequência que tende a
(os termos pares). Isso implica que para todo existe tal que, para em uma parte da sequência (os pares), os termos ultrapassam . Assim não pode ficar limitado por nenhum , e portanto
- Há outra subsequência que tende a
(os termos ímpares). Isso implica que para todo com grande magnitude existe tal que em índices ímpares suficientemente grandes os termos ficam abaixo de . Assim fica arbitrariamente negativo quando cresce, e portanto
Passo 6
Resposta final: a sequência não tem limite finito; os maiores valores limites vão para
e os menores valores limites vão para
. Vou escrever isso de forma direta.