Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
e) \sqrt{n}-(-1)^{n} \sqrt{n-1}

Passo 1

O enunciado pede os limites superior (limite superior ou \limsup) e inferior (limite inferior ou \liminf) da sequência cujo termo geral é
a_n=\sqrt{n}-(-1)^{n}\sqrt{n-1}.
Informações dadas relevantes:
  • A sequência está indexada por n\in\mathbb{N}, com a convenção \sqrt{0}=0.
  • Precisamos determinar \limsup_{n\to\infty} a_n e \liminf_{n\to\infty} a_n e justificar por que são esses valores.

Passo 2

Estratégia: vamos separar a sequência em duas subsequências (índices pares e ímpares). Isso é natural porque o termo contém (-1)^n, que alterna de sinal conforme n é par ou ímpar. Mostrar o comportamento de cada subsequência nos dá informações sobre os limites superior e inferior da sequência inteira.

Passo 3

Analisando n par. Tome n=2k com k\in\mathbb{N}. Então (-1)^n=1 e
a_{2k}=\sqrt{2k}-\sqrt{2k-1}.
Para estudar essa diferença usamos a técnica de racionalizar a diferença de raízes:
\sqrt{2k}-\sqrt{2k-1}=\frac{(\sqrt{2k}-\sqrt{2k-1})(\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1})}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}} =\frac{2k-(2k-1)}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}} =\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}.
Explicando a técnica: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2k}+\sqrt{2k-1} para transformar a diferença de raízes numa fração simples. Agora vemos claramente o comportamento quando k\to\infty: o denominador cresce sem limite, logo
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}=0.
Além disso, cada termo a_{2k} é positivo, porque é diferença de duas raízes com a maior subtraindo a menor.

Passo 4

Analisando n ímpar. Tome n=2k+1. Então (-1)^n=-1 e
a_{2k+1}=\sqrt{2k+1}-(-1)\sqrt{2k}=\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k}.
Essa expressão é a soma de duas raízes quadradas crescentes. Uma forma simples de ver que diverge para +\infty é a desigualdade
a_{2k+1}=\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k}\ge \sqrt{2k},
e \sqrt{2k}\to\infty quando k\to\infty. Portanto
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=+\infty.

Passo 5

Agora relacionamos os comportamentos das subsequências com \liminf e \limsup.
Definição intuitiva (rápida): \liminf a_n é o maior número L tal que, a partir de certo ponto, os termos ficam quase sempre acima de L; equivalentemente, é o limite dos ínfimos das caudas da sequência. \limsup a_n é o menor número U tal que, a partir de certo ponto, os termos ficam quase sempre abaixo de U; equivalentemente, é o limite dos supremos das caudas da sequência.
  • Para \liminf: observamos que os termos com n par satisfazem a_{2k}=\dfrac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}\to0. Assim, para qualquer \varepsilon>0 existe K tal que, para todo k\ge K, a_{2k}<\varepsilon. Logo os ínfimos das caudas da sequência tendem a no máximo 0. Por outro lado, todos os termos a_n são não negativos (já que tanto as somas para n ímpar quanto as diferenças para n par são \ge0), então \liminf a_n\ge0. Com isso concluímos que
\liminf_{n\to\infty} a_n=0.
  • Para \limsup: a subsequência com n ímpar diverge para +\infty. Isso significa que para qualquer M>0 existe K tal que, para todo k\ge K, a_{2k+1}>M. Logo os supremos das caudas ficam arbitrariamente grandes quando avançamos na sequência, o que implica que
\limsup_{n\to\infty} a_n=+\infty.

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n=+\infty
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n=0

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