Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede os limites superior (limite superior ou
) e inferior (limite inferior ou
) da sequência cujo termo geral é
Informações dadas relevantes:
- A sequência está indexada por
, com a convenção . - Precisamos determinar
e e justificar por que são esses valores.
Passo 2
Estratégia: vamos separar a sequência em duas subsequências (índices pares e ímpares). Isso é natural porque o termo contém
, que alterna de sinal conforme
é par ou ímpar. Mostrar o comportamento de cada subsequência nos dá informações sobre os limites superior e inferior da sequência inteira.
Passo 3
Analisando
par. Tome
com
. Então
e
Para estudar essa diferença usamos a técnica de racionalizar a diferença de raízes:
Explicando a técnica: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
para transformar a diferença de raízes numa fração simples. Agora vemos claramente o comportamento quando
: o denominador cresce sem limite, logo
Além disso, cada termo
é positivo, porque é diferença de duas raízes com a maior subtraindo a menor.
Passo 4
Analisando
ímpar. Tome
. Então
e
Essa expressão é a soma de duas raízes quadradas crescentes. Uma forma simples de ver que diverge para
é a desigualdade
e
quando
. Portanto
Passo 5
Agora relacionamos os comportamentos das subsequências com
e
.
Definição intuitiva (rápida):
é o maior número
tal que, a partir de certo ponto, os termos ficam quase sempre acima de
; equivalentemente, é o limite dos ínfimos das caudas da sequência.
é o menor número
tal que, a partir de certo ponto, os termos ficam quase sempre abaixo de
; equivalentemente, é o limite dos supremos das caudas da sequência.
- Para
: observamos que os termos com par satisfazem . Assim, para qualquer existe tal que, para todo , . Logo os ínfimos das caudas da sequência tendem a no máximo . Por outro lado, todos os termos são não negativos (já que tanto as somas para ímpar quanto as diferenças para par são ), então . Com isso concluímos que
- Para
: a subsequência com ímpar diverge para . Isso significa que para qualquer existe tal que, para todo , . Logo os supremos das caudas ficam arbitrariamente grandes quando avançamos na sequência, o que implica que