Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
i) \left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{2 n}+2 n\left((-1)^{n} 3+3\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral vou chamar de a_n:
a_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{2 n}+2 n\left((-1)^{n} 3+3\right).
Observações/critérios importantes extraídos do enunciado:
  • A expressão dentro do último parêntese pode ser reescrita como 3\big((-1)^n+1\big), então o último termo vale 2n\cdot 3\big((-1)^n+1\big)=6n\big((-1)^n+1\big).
  • Para n par temos (-1)^n=1 e para n ímpar temos (-1)^n=-1. Logo os termos da sequência têm comportamento diferente para índices pares e ímpares.
  • O pedido é: determinar os limites superior e inferior da sequência, isto é, \limsup_{n\to\infty} a_n e \liminf_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Vou lembrar o que significam \limsup e \liminf de forma concreta (isso é importante para a prova).
  • Definição prática de \limsup: \limsup_{n\to\infty} a_n=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\Big(\sup_{n\ge N} a_n\Big). Intuitivamente é o maior valor limite que a sequência pode “aproximar” no infinito — se houver subsequência que vai para +\infty, a \limsup será +\infty.
  • Definição prática de \liminf: \liminf_{n\to\infty} a_n=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\Big(\inf_{n\ge N} a_n\Big). Intuitivamente é o menor valor limite que a sequência pode “aproximar” no infinito — se existe uma subsequência que tende a L e nenhuma subsequência tende a valor menor do que L, então \liminf=L.
  • Uso de subsequências: frequentemente é mais simples analisar subsequências (por exemplo pares e ímpares) para determinar \limsup e \liminf: qualquer limite de subsequência é ≤ \limsup e ≥ \liminf; se encontramos uma subsequência que tende a +\infty, então \limsup=+\infty.

Passo 3

Separei os casos par/ímpar explicando a fatoração já mencionada. Reescrevendo explicitamente:
a_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{1}{2 n}+6n\big((-1)^n+1\big).
Agora analiso as duas subsequências naturais: n par e n ímpar.

Passo 4

Caso n par: escreva n=2k com k\in\mathbb{N}. Então (-1)^n=1 e (-1)^n+1=2. Assim
a_{2k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2k}+\frac{1}{2\cdot 2k}+6(2k)\cdot 2.
Simplificando os termos:
a_{2k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2k}+\frac{1}{4k}+24k.
  • O termo \left(\frac{1}{3}\right)^{2k} tende a 0 quando k\to\infty (é uma potência de base <1).
  • O termo \frac{1}{4k} também tende a 0.
  • O termo dominante é 24k, que cresce sem limite quando k\to\infty; logo
\lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty.
Portanto há uma subsequência (a dos índices pares) que diverge para +\infty.

Passo 5

Do resultado do passo anterior e da definição: se existe uma subsequência que vai para +\infty, então
\limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty.
Isso basta porque \sup_{n\ge N} a_n será arbitrariamente grande à medida que N cresce (os termos pares crescem sem limite), e o limite desses supremos é +\infty.

Passo 6

Agora o caso n ímpar: escreva n=2k+1. Então (-1)^n=-1 e (-1)^n+1=0. Assim o último termo some:
a_{2k+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2k+1}+\frac{1}{2(2k+1)}+6(2k+1)\cdot 0.
Logo
a_{2k+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2k+1}+\frac{1}{2(2k+1)}.
Ambos os termos desta soma tendem a 0 quando k\to\infty, portanto
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=0.
Assim existe uma subsequência (a dos índices ímpares) cujo limite é 0.

Passo 7

Para determinar \liminf: note primeiro que todos os termos a_n são não negativos. De fato:
  • \left(\frac{1}{3}\right)^n>0 e \frac{1}{2n}>0 para todo n.
  • 6n\big((-1)^n+1\big) é 0 quando n é ímpar e é 12n (positivo) quando n é par.
    Logo a_n\ge 0 para todo n, então qualquer \inf_{n\ge N} a_n\ge 0, o que implica \liminf_{n\to\infty} a_n\ge 0.
    Por outro lado, como a subsequência ímpar tende a 0, para qualquer \varepsilon>0 existe K tal que para todo k\ge K temos a_{2k+1}<\varepsilon. Assim para N grande a infimum dos a_n com n\ge N é ≤ a_{2k+1}<\varepsilon. Fazendo \varepsilon\to 0 obtemos \liminf_{n\to\infty} a_n\le 0.
    Combinando \liminf_{n\to\infty} a_n\ge 0 e \liminf_{n\to\infty} a_n\le 0 conclui-se que
\liminf_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n = 0
\displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n = +\infty

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