Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
i)
’
i)
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral vou chamar de
:
Observações/critérios importantes extraídos do enunciado:
- A expressão dentro do último parêntese pode ser reescrita como
, então o último termo vale . - Para
par temos e para ímpar temos . Logo os termos da sequência têm comportamento diferente para índices pares e ímpares. - O pedido é: determinar os limites superior e inferior da sequência, isto é,
e .
Passo 2
Vou lembrar o que significam
e
de forma concreta (isso é importante para a prova).
- Definição prática de
: . Intuitivamente é o maior valor limite que a sequência pode “aproximar” no infinito — se houver subsequência que vai para , a será . - Definição prática de
: . Intuitivamente é o menor valor limite que a sequência pode “aproximar” no infinito — se existe uma subsequência que tende a e nenhuma subsequência tende a valor menor do que , então . - Uso de subsequências: frequentemente é mais simples analisar subsequências (por exemplo pares e ímpares) para determinar
e : qualquer limite de subsequência é ≤ e ≥ ; se encontramos uma subsequência que tende a , então .
Passo 3
Separei os casos par/ímpar explicando a fatoração já mencionada. Reescrevendo explicitamente:
Agora analiso as duas subsequências naturais:
par e
ímpar.
Passo 4
Caso
par: escreva
com
. Então
e
. Assim
Simplificando os termos:
- O termo
tende a quando (é uma potência de base ). - O termo
também tende a . - O termo dominante é
, que cresce sem limite quando ; logo
Portanto há uma subsequência (a dos índices pares) que diverge para
.
Passo 5
Do resultado do passo anterior e da definição: se existe uma subsequência que vai para
, então
Isso basta porque
será arbitrariamente grande à medida que
cresce (os termos pares crescem sem limite), e o limite desses supremos é
.
Passo 6
Agora o caso
ímpar: escreva
. Então
e
. Assim o último termo some:
Logo
Ambos os termos desta soma tendem a
quando
, portanto
Assim existe uma subsequência (a dos índices ímpares) cujo limite é
.
Passo 7
Para determinar
: note primeiro que todos os termos
são não negativos. De fato:
-
e para todo . -
é quando é ímpar e é (positivo) quando é par.
Logopara todo , então qualquer , o que implica .
Por outro lado, como a subsequência ímpar tende a, para qualquer existe tal que para todo temos . Assim para grande a infimum dos com é ≤ . Fazendo obtemos .
Combinandoe conclui-se que