Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
j) \frac{\left((-1)^{n+3}-(-1)^{n}\right) n^{3}+2}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede os limites superior e inferior (limsup e liminf) da sequência cuja general term é
\frac{\left((-1)^{n+3}-(-1)^{n}\right) n^{3}+2}{3 n+1}.
Informações importantes dadas:
\text{sequência }(a_n) \text{ com } a_n=\frac{\left((-1)^{n+3}-(-1)^{n}\right) n^{3}+2}{3 n+1}.ê
Perguntas: determinar o limite superior (limsup) e o limite inferior (liminf) da sequência.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão envolvendo potências de (-1). Observamos que
(-1)^{n+3}=(-1)^n\cdot(-1)^3=-(-1)^n.
Então
(-1)^{n+3}-(-1)^n = -(-1)^n - (-1)^n = -2(-1)^n.
Substituindo na expressão de a_n obtemos
a_n = \frac{-2(-1)^n n^3 + 2}{3n+1}.

Passo 3

Agora vamos entender o comportamento para n grande. O termo dominante no numerador é -2(-1)^n n^3 (pois cresce como n^3), enquanto o denominador cresce como 3n. Assim, para n grande
a_n \sim \frac{-2(-1)^n n^3}{3n} = -\frac{2}{3}(-1)^n n^2.
Isto indica crescimento em módulo como n^2 e alteração de sinal conforme a paridade de n. Para ser preciso vamos estudar as subsequências par e ímpar.

Passo 4

Estudo da subsequência par: seja n=2k com k\in\mathbb{N}. Substituindo em a_n,
a_{2k} = \frac{-2(-1)^{2k} (2k)^3 + 2}{3(2k)+1}.
Como (-1)^{2k}=1, isso vira
a_{2k} = \frac{-2(2k)^3 + 2}{6k+1} = \frac{-16k^3 + 2}{6k+1}.
Para ver o limite quando k\to\infty dividimos numerador e denominador por k:
a_{2k} = \frac{-16k^2 + \dfrac{2}{k}}{6 + \dfrac{1}{k}}.
À medida que k\to\infty temos -16k^2 + \dfrac{2}{k}\to -\infty enquanto 6+\dfrac{1}{k}\to 6>0. Portanto
a_{2k}\to -\infty \quad\text{quando }k\to\infty.
Ou seja, a subsequência dos índices pares diverge para -\infty.

Passo 5

Estudo da subsequência ímpar: seja n=2k+1. Substituindo,
a_{2k+1} = \frac{-2(-1)^{2k+1} (2k+1)^3 + 2}{3(2k+1)+1}.
Como (-1)^{2k+1}=-1, temos
a_{2k+1} = \frac{-2(-1)(2k+1)^3 + 2}{6k+4} = \frac{2(2k+1)^3 + 2}{6k+4}.
Podemos escrever
a_{2k+1} = \frac{2\big((2k+1)^3+1\big)}{6k+4}.
Para k\to\infty o numerador cresce como 16k^3 e o denominador como 6k; dividindo por k ou observando os termos de maior grau,
a_{2k+1} \sim \frac{16k^3}{6k} = \frac{8}{3}k^2 \to +\infty.
Portanto a subsequência dos índices ímpares diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão sobre limsup e liminf: limsup é o menor número (possivelmente +\infty) que é maior ou igual a todas as subsequências limites, ou alternativamente o supremo dos limites de todas as subsequências. Como existe uma subsequência ( a_{2k+1}) que tende a +\infty, a limsup da sequência é +\infty. Analogamente, como existe uma subsequência ( a_{2k}) que tende a -\infty, a liminf da sequência é -\infty.

Resposta

limsup = +\infty
liminf = -\infty

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