Determine the upper and lower limits of the sequences with the following general terms and provide a reason for the answers:
j)
’
j)
Passo 1
O enunciado pede os limites superior e inferior (limsup e liminf) da sequência cuja general term é
Informações importantes dadas:
Perguntas: determinar o limite superior (limsup) e o limite inferior (liminf) da sequência.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão envolvendo potências de
. Observamos que
Então
Substituindo na expressão de
obtemos
Passo 3
Agora vamos entender o comportamento para
grande. O termo dominante no numerador é
(pois cresce como
), enquanto o denominador cresce como
. Assim, para
grande
Isto indica crescimento em módulo como
e alteração de sinal conforme a paridade de
. Para ser preciso vamos estudar as subsequências par e ímpar.
Passo 4
Estudo da subsequência par: seja
com
. Substituindo em
,
Como
, isso vira
Para ver o limite quando
dividimos numerador e denominador por
:
À medida que
temos
enquanto
. Portanto
Ou seja, a subsequência dos índices pares diverge para
.
Passo 5
Estudo da subsequência ímpar: seja
. Substituindo,
Como
, temos
Podemos escrever
Para
o numerador cresce como
e o denominador como
; dividindo por
ou observando os termos de maior grau,
Portanto a subsequência dos índices ímpares diverge para
.
Passo 6
Conclusão sobre limsup e liminf: limsup é o menor número (possivelmente
) que é maior ou igual a todas as subsequências limites, ou alternativamente o supremo dos limites de todas as subsequências. Como existe uma subsequência (
) que tende a
, a limsup da sequência é
. Analogamente, como existe uma subsequência (
) que tende a
, a liminf da sequência é
.
Resposta
limsup
liminf
liminf