Consider the sequence of general term
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
Vou determinar as propriedades clássicas que normalmente se pedem para uma sequência como essa: o limite quando
, se a sequência é monotônica (crescente ou decrescente), e se é limitada — em caso afirmativo, quais são o ínfimum e o supremo.
Passo 2
Primeiro vou manipular a expressão de
para deixá-la numa forma que facilite ver o limite. Reescrevo
como uma diferença de
e um termo que tende a zero:
Explicando essa manipulação: multiplico e divido por
ou observo que
onde o numerador foi escrito como
.
Passo 3
Agora uso a expressão da etapa anterior para obter o limite. Se eu conseguir mostrar que
quando
, então pela propriedade de limites (a soma/diferença de limites) segue que
Portanto o candidato a limite é
.
Passo 4
Só para deixar o argumento do limite completo e bem justificado: mostro que
. Intuitivamente, conforme
cresce,
cresce sem limite e o inverso tende a
. Formalmente, dado
escolho
tal que
. Para todo
temos
portanto
. Com isso, confirmamos rigorosamente que
.
Passo 5
Agora estudo a monotonicidade. Para isso calculo a diferença
. Usando a forma original:
Faço a diferença:
Coloco em denominador comum
:
Passo 6
Simplifico o numerador passo a passo:
Logo
Como para todo
natural temos
, segue que
. Portanto
para todo
, o que significa que a sequência
é estritamente crescente.
Passo 7
Com a monotonicidade e o limite em mãos posso também concluir sobre limites superior/inferior e sobre se a sequência é limitada. Observações úteis:
- Para todo
temos , logo
- Além disso, para todo
o numerador e denominador são positivos, então .
Assim,
para todo
, ou seja, a sequência é limitada: tem um majorante
e um minorante
.
Passo 8
Como a sequência é estritamente crescente, seu ínfimo é o seu primeiro valor (ou o menor entre os primeiros termos, se começarmos em outro índice). Se tomarmos
começando em
, então
e por ser crescente temos
. O supremo da sequência é o limite quando
, que já vimos ser
; logo
. Note que
não é atingido por nenhum termo
, é apenas o supremo (limite superior).
Resposta
Limite:
Monotonicidade: estritamente crescente ( )
Limitada: sim; para todo
(mais precisamente
e
)
Monotonicidade: estritamente crescente (
Limitada: sim;