Consider the sequence of general term
u_{n}=\frac{n+1}{n+2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
u_{n}=\frac{n+1}{n+2}.
Vou determinar as propriedades clássicas que normalmente se pedem para uma sequência como essa: o limite quando n\to\infty, se a sequência é monotônica (crescente ou decrescente), e se é limitada — em caso afirmativo, quais são o ínfimum e o supremo.

Passo 2

Primeiro vou manipular a expressão de u_{n} para deixá-la numa forma que facilite ver o limite. Reescrevo \dfrac{n+1}{n+2} como uma diferença de 1 e um termo que tende a zero:
\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}.
Explicando essa manipulação: multiplico e divido por n+2 ou observo que
\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2},
onde o numerador foi escrito como (n+2)-1.

Passo 3

Agora uso a expressão da etapa anterior para obter o limite. Se eu conseguir mostrar que \dfrac{1}{n+2}\to 0 quando n\to\infty, então pela propriedade de limites (a soma/diferença de limites) segue que
u_n = 1 - \frac{1}{n+2} \longrightarrow 1-0 = 1.
Portanto o candidato a limite é 1.

Passo 4

Só para deixar o argumento do limite completo e bem justificado: mostro que \dfrac{1}{n+2}\to 0. Intuitivamente, conforme n cresce, n+2 cresce sem limite e o inverso tende a 0. Formalmente, dado \varepsilon>0 escolho N tal que N> \dfrac{1}{\varepsilon}-2. Para todo n\ge N temos
0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{N+2}<\varepsilon,
portanto \dfrac{1}{n+2}\to 0. Com isso, confirmamos rigorosamente que u_n\to 1.

Passo 5

Agora estudo a monotonicidade. Para isso calculo a diferença u_{n+1}-u_n. Usando a forma original:
u_{n+1}=\frac{n+2}{n+3},\qquad u_n=\frac{n+1}{n+2}.
Faço a diferença:
u_{n+1}-u_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}.
Coloco em denominador comum (n+3)(n+2):
u_{n+1}-u_n=\frac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}.

Passo 6

Simplifico o numerador passo a passo:
(n+2)^2-(n+1)(n+3)= (n^2+4n+4)-(n^2+4n+3)=1.
Logo
u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+3)(n+2)}.
Como para todo n natural temos (n+3)(n+2)>0, segue que \dfrac{1}{(n+3)(n+2)}>0. Portanto u_{n+1}-u_n>0 para todo n, o que significa que a sequência (u_n) é estritamente crescente.

Passo 7

Com a monotonicidade e o limite em mãos posso também concluir sobre limites superior/inferior e sobre se a sequência é limitada. Observações úteis:
  • Para todo n temos n+1<n+2, logo
u_n=\frac{n+1}{n+2}<1.
  • Além disso, para todo n o numerador e denominador são positivos, então u_n>0.
Assim, 0<u_n<1 para todo n, ou seja, a sequência é limitada: tem um majorante 1 e um minorante 0.

Passo 8

Como a sequência é estritamente crescente, seu ínfimo é o seu primeiro valor (ou o menor entre os primeiros termos, se começarmos em outro índice). Se tomarmos n começando em 1, então
u_1=\frac{1+1}{1+2}=\frac{2}{3},
e por ser crescente temos \inf \{u_n\}=u_1=\dfrac{2}{3}. O supremo da sequência é o limite quando n\to\infty, que já vimos ser 1; logo \sup\{u_n\}=1. Note que 1 não é atingido por nenhum termo u_n, é apenas o supremo (limite superior).

Resposta

Limite: 1
Monotonicidade: estritamente crescente ( u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}>0)
Limitada: sim; 0<u_n<1 para todo n (mais precisamente \inf\{u_n\}= \dfrac{2}{3} e \sup\{u_n\}=1)

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