Show that the sequence
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\frac{3}{2} \\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{array}\right.
is a sequence in Q such that x_{n}^{2} \rightarrow 2. Use this result to show that ( x_{n} ) is a Cauchy sequence in \mathbb{Q} that does not converge in \mathbb{Q}.
Hint:
(i) Show that v_{n}=x_{n}^{2}-2 satisfies 0 \leq v_{n} \leq \frac{1}{4^{n}}.
(ii) Use the relation x_{n}-x_{m}=\frac{x_{n}^{2}-x_{m}^{2}}{x_{n}+x_{m}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\dfrac{3}{2},\\[6pt] x_{n+1}=\dfrac{x_{n}}{2}+\dfrac{1}{x_{n}},\qquad \forall n\in\mathbb{N}. \end{array}\right.
As tarefas pedidas são, explicitamente:
  • Mostrar que x_{n}\in\mathbb{Q} para todo n.
  • Mostrar que x_{n}^{2}\to 2 quando n\to\infty.
  • Usar esse resultado para provar que the sequence (x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}.
  • Mostrar que (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: a fórmula de recorrência para x_{n+1} e o valor inicial x_{1}=\dfrac{3}{2}.]

Passo 2

Primeiro, vamos ver que todos os termos são racionais. Explico passo a passo:
Base: x_{1}=\dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q}.
Passo indutivo: suponha x_{n}\in\mathbb{Q}. Então x_{n+1}=\dfrac{x_{n}}{2}+\dfrac{1}{x_{n}} é soma e quociente de números racionais (divisão por 2 e por x_n — e x_n\neq0 porque x_1\neq0 e a recorrência não produz zero), portanto x_{n+1}\in\mathbb{Q}. Assim, por indução, x_{n}\in\mathbb{Q} para todo n.
Além disso, observe que cada x_n é positivo (base x_1>0 e a fórmula é soma de termos positivos), portanto podemos falar de x_n^2 e de suas raízes sem ambiguidades de sinal.

Passo 3

Definimos a sequência auxiliar
v_{n}=x_{n}^{2}-2.
A ideia é estudar v_n. Vamos calcular v_{n+1} em função de v_n. Começamos calculando x_{n+1}^{2}:
x_{n+1}^{2}=\left(\frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}}\right)^{2} =\frac{x_{n}^{2}}{4}+1+\frac{1}{x_{n}^{2}}.
Subtraindo 2 obtemos
v_{n+1}=x_{n+1}^{2}-2=\frac{x_{n}^{2}}{4}-1+\frac{1}{x_{n}^{2}}.
Agora escrevemos tudo em função de v_{n}=x_{n}^{2}-2. Note que x_n^2=v_n+2. Fazendo as manipulações algébricas (colocando sobre o mesmo denominador) obtemos uma forma bem limpa:
v_{n+1}=\frac{(x_{n}^{2}-2)^{2}}{4x_{n}^{2}}=\frac{v_{n}^{2}}{4x_{n}^{2}}.
Esta fórmula é central: expressa v_{n+1} como um quadrado de v_n dividido por algo positivo.

Passo 4

Mostramos que v_{n}\ge 0 para todo n. Base: v_{1}=x_{1}^{2}-2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-2=\dfrac{9}{4}-2=\dfrac{1}{4}\ge0. Se v_{n}\ge0, então pela fórmula
v_{n+1}=\frac{v_{n}^{2}}{4x_{n}^{2}}\ge 0,
porque numerador é quadrado (não-negativo) e denominador positivo. Assim, por indução, v_n\ge0 para todo n.
Consequência imediata: x_{n}^{2}=v_{n}+2\ge 2, então x_{n}\ge\sqrt{2} (já que x_n>0). Ter essa menor cota para x_n será útil nas estimativas seguintes.

Passo 5

Agora mostramos a desigualdade sugerida no item (i): 0\le v_{n}\le \dfrac{1}{4^{n}}.
Já temos v_{1}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4^{1}}. Queremos provar que v_{n+1}\le \dfrac{1}{4}v_{n}. Partindo da fórmula obtida:
v_{n+1}=\frac{v_{n}^{2}}{4(x_{n}^{2})}=\frac{v_{n}^{2}}{4(v_{n}+2)}.
Comparando v_n^2 e v_n(v_n+2) notamos que v_n^2\le v_n(v_n+2) (porque v_n\le v_n+2). Assim
\frac{v_{n}^{2}}{4(v_{n}+2)} \le \frac{v_{n}(v_{n}+2)}{4(v_{n}+2)} = \frac{v_{n}}{4}.
Portanto v_{n+1}\le \dfrac{v_{n}}{4}.
Aplicando este fato repetidamente (indução): v_{2}\le v_{1}/4, v_{3}\le v_{2}/4\le v_{1}/4^{2}, … logo
v_{n}\le \frac{v_{1}}{4^{\,n-1}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{4^{\,n-1}}=\frac{1}{4^{n}}.
Combinando com v_n\ge0 obtemos exatamente
0\le v_{n}\le\frac{1}{4^{n}},\qquad\forall n\in\mathbb{N},
que era a parte (i) do hint.

Passo 6

A partir da desigualdade do passo anterior concluímos que v_{n}\to 0 quando n\to\infty, porque 1/4^{n}\to 0. Como v_{n}=x_{n}^{2}-2, isso significa que
x_{n}^{2}\to 2.
Se quisermos escrever a prova \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, escolha N tal que 1/4^{N}<\varepsilon. Para n\ge N temos |x_n^2-2|=v_n\le 1/4^n\le 1/4^N<\varepsilon. Portanto x_n^2\to 2.

Passo 7

Agora provamos que (x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}. Lembro a definição (de forma intuitiva): (x_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo m,n\ge N temos |x_n-x_m|<\varepsilon.
Usamos a relação sugerida no hint:
x_{n}-x_{m}=\frac{x_{n}^{2}-x_{m}^{2}}{x_{n}+x_{m}}.
Tomando valor absoluto,
|x_{n}-x_{m}|=\frac{|x_{n}^{2}-x_{m}^{2}|}{x_{n}+x_{m}}.
Aqui o denominador é positivo e podemos estimá-lo: como vimos x_{k}^{2}\ge 2 para todo k, segue x_{k}\ge\sqrt{2}. Portanto
x_{n}+x_{m}\ge 2\sqrt{2}.
Para o numerador usamos x_{k}^{2}-2=v_{k}. Então
|x_{n}^{2}-x_{m}^{2}|=|v_{n}-v_{m}|\le v_{n}+v_{m}.
Usando o fato v_{k}\le 1/4^{k} do passo 5, se m,n\ge N temos
v_{n}+v_{m}\le \frac{1}{4^{n}}+\frac{1}{4^{m}}\le \frac{2}{4^{N}}.
Portanto, para m,n\ge N,
|x_{n}-x_{m}|\le \frac{v_{n}+v_{m}}{x_{n}+x_{m}} \le \frac{2/4^{N}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4^{N}\sqrt{2}}.
Dado qualquer \varepsilon>0 basta escolher N grande o suficiente tal que \dfrac{1}{4^{N}\sqrt{2}}<\varepsilon (por exemplo, tomar N>\log_{4}\!\big(\tfrac{1}{\varepsilon\sqrt{2}}\big)). Assim, para m,n\ge N temos |x_n-x_m|<\varepsilon. Isso prova que (x_n) é Cauchy (no espaço dos números reais, e portanto também como sequência em \mathbb{Q} com a métrica herdada).
Observação didática: mostrar que uma sequência de racionais é Cauchy é a mesma coisa que mostrar que ela é Cauchy em \mathbb{R} (a métrica é a mesma); o ponto importante é que todos os termos estão em \mathbb{Q}.

Passo 8

Finalmente, mostramos que (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}. Suponha, por contradição, que exista q\in\mathbb{Q} tal que x_{n}\to q em \mathbb{Q}. Então, como a função t\mapsto t^{2} é contínua em \mathbb{R}, teríamos x_{n}^{2}\to q^{2}. Mas pelo passo 6 sabemos que x_{n}^{2}\to 2. Logo q^{2}=2. Isso implica que q=\pm\sqrt{2}. Como todos x_n>0, o limite teria que ser q=\sqrt{2}. No entanto \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} (resultado clássico), então não existe tal q\in\mathbb{Q}. Contradição. Portanto (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.

Resposta

x_{n}\in\mathbb{Q} para todo n.\n x_{n}^{2}\to 2 quando n\to\infty.\n (x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}.\n (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.

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