\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\frac{3}{2} \\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{array}\right.
is a sequence in Q such that x_{n}^{2} \rightarrow 2. Use this result to show that ( x_{n} ) is a Cauchy sequence in \mathbb{Q} that does not converge in \mathbb{Q}.
Hint:
(i) Show that v_{n}=x_{n}^{2}-2 satisfies 0 \leq v_{n} \leq \frac{1}{4^{n}}.
(ii) Use the relation x_{n}-x_{m}=\frac{x_{n}^{2}-x_{m}^{2}}{x_{n}+x_{m}}.
Usar esse resultado para provar que the sequence (x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}.
Mostrar que (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: a fórmula de recorrência para x_{n+1} e o valor inicial x_{1}=\dfrac{3}{2}.]
Passo 2
Primeiro, vamos ver que todos os termos são racionais. Explico passo a passo:
Base: x_{1}=\dfrac{3}{2}\in\mathbb{Q}.
Passo indutivo: suponha x_{n}\in\mathbb{Q}. Então x_{n+1}=\dfrac{x_{n}}{2}+\dfrac{1}{x_{n}} é soma e quociente de números racionais (divisão por 2 e por x_n — e x_n\neq0 porque x_1\neq0 e a recorrência não produz zero), portanto x_{n+1}\in\mathbb{Q}. Assim, por indução, x_{n}\in\mathbb{Q} para todo n.
Além disso, observe que cada x_n é positivo (base x_1>0 e a fórmula é soma de termos positivos), portanto podemos falar de x_n^2 e de suas raízes sem ambiguidades de sinal.
Passo 3
Definimos a sequência auxiliar
v_{n}=x_{n}^{2}-2.
A ideia é estudar v_n. Vamos calcular v_{n+1} em função de v_n. Começamos calculando x_{n+1}^{2}:
Agora escrevemos tudo em função de v_{n}=x_{n}^{2}-2. Note que x_n^2=v_n+2. Fazendo as manipulações algébricas (colocando sobre o mesmo denominador) obtemos uma forma bem limpa:
Esta fórmula é central: expressa v_{n+1} como um quadrado de v_n dividido por algo positivo.
Passo 4
Mostramos que v_{n}\ge 0 para todo n. Base: v_{1}=x_{1}^{2}-2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-2=\dfrac{9}{4}-2=\dfrac{1}{4}\ge0. Se v_{n}\ge0, então pela fórmula
v_{n+1}=\frac{v_{n}^{2}}{4x_{n}^{2}}\ge 0,
porque numerador é quadrado (não-negativo) e denominador positivo. Assim, por indução, v_n\ge0 para todo n.
Consequência imediata: x_{n}^{2}=v_{n}+2\ge 2, então x_{n}\ge\sqrt{2} (já que x_n>0). Ter essa menor cota para x_n será útil nas estimativas seguintes.
Passo 5
Agora mostramos a desigualdade sugerida no item (i): 0\le v_{n}\le \dfrac{1}{4^{n}}.
Já temos v_{1}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4^{1}}. Queremos provar que v_{n+1}\le \dfrac{1}{4}v_{n}. Partindo da fórmula obtida:
A partir da desigualdade do passo anterior concluímos que v_{n}\to 0 quando n\to\infty, porque 1/4^{n}\to 0. Como v_{n}=x_{n}^{2}-2, isso significa que
x_{n}^{2}\to 2.
Se quisermos escrever a prova \varepsilon-\delta: dado \varepsilon>0, escolha N tal que 1/4^{N}<\varepsilon. Para n\ge N temos |x_n^2-2|=v_n\le 1/4^n\le 1/4^N<\varepsilon. Portanto x_n^2\to 2.
Passo 7
Agora provamos que (x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}. Lembro a definição (de forma intuitiva): (x_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo m,n\ge N temos |x_n-x_m|<\varepsilon.
Dado qualquer \varepsilon>0 basta escolher N grande o suficiente tal que \dfrac{1}{4^{N}\sqrt{2}}<\varepsilon (por exemplo, tomar N>\log_{4}\!\big(\tfrac{1}{\varepsilon\sqrt{2}}\big)). Assim, para m,n\ge N temos |x_n-x_m|<\varepsilon. Isso prova que (x_n) é Cauchy (no espaço dos números reais, e portanto também como sequência em \mathbb{Q} com a métrica herdada).
Observação didática: mostrar que uma sequência de racionais é Cauchy é a mesma coisa que mostrar que ela é Cauchy em \mathbb{R} (a métrica é a mesma); o ponto importante é que todos os termos estão em \mathbb{Q}.
Passo 8
Finalmente, mostramos que (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}. Suponha, por contradição, que exista q\in\mathbb{Q} tal que x_{n}\to q em \mathbb{Q}. Então, como a função t\mapsto t^{2} é contínua em \mathbb{R}, teríamos x_{n}^{2}\to q^{2}. Mas pelo passo 6 sabemos que x_{n}^{2}\to 2. Logo q^{2}=2. Isso implica que q=\pm\sqrt{2}. Como todos x_n>0, o limite teria que ser q=\sqrt{2}. No entanto \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} (resultado clássico), então não existe tal q\in\mathbb{Q}. Contradição. Portanto (x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.
Resposta
x_{n}\in\mathbb{Q} para todo n.\nx_{n}^{2}\to 2 quando n\to\infty.\n(x_{n}) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{Q}.\n(x_{n}) não converge em \mathbb{Q}.