Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y)=x y restrito a \psi(v, y)=(x+1)^{2}+y^{2}-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo da função objetivo \,f(x,y)=x y\, sujeitos à restrição \,\psi(x,y)=(x+1)^{2}+y^{2}-1=0\,.\n
Informações dadas:
\text{Função objetivo: } f(x,y)=x y.çã
\text{Restrição: } \psi(x,y)=(x+1)^{2}+y^{2}-1=0.çã
A restrição descreve um círculo de centro (-1,0) e raio 1. O problema é encontrar os pontos (x,y) sobre esse círculo onde f atinge valores extremos (máximo e mínimo).

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Quando queremos extremos de uma função com uma restrição suave como \psi(x,y)=0, o método clássico é multiplicadores de Lagrange.
  • A ideia: no ponto extremo sob a restrição, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de \psi. Introduzimos um multiplicador \lambda tal que
\nabla f(x,y) = \lambda \nabla \psi(x,y).
  • Aqui \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y). Mesma ideia para \nabla\psi.
  • Esse sistema junto com a equação da restrição forma um sistema de três equações para as incógnitas x,y,\lambda. Resolvendo-o achamos candidatos a extremos. Como a restrição é um conjunto compacto (um círculo fechado e limitado) e f é contínua, sabemos que existem máximos e mínimos globais e que estarão entre esses candidatos.

Passo 3

Formulando o sistema de Lagrange:
Definimos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,\psi(x,y)=x y - \lambda\big((x+1)^{2}+y^{2}-1\big).
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (explico o que cada uma significa):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial x}(x y)-\lambda\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big((x+1)^2+y^2-1\big)=0.
Aqui \partial(xy)/\partial x = y (porque tratando y como constante ao derivar em relação a x). E \partial((x+1)^2)/\partial x = 2(x+1). Logo a primeira equação é
y - \lambda\cdot 2(x+1)=0. \tag{1}
A segunda derivada parcial:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad x - \lambda\cdot 2y =0,
pois \partial(xy)/\partial y = x e \partial(y^2)/\partial y = 2y. Assim
x - 2\lambda y =0. \tag{2}
E a terceira equação é simplesmente a restrição:
(x+1)^{2}+y^{2}-1=0. \tag{3}

Passo 4

Resolver o sistema (1), (2) e (3). Vou primeiro tratar o caso geral assumindo y\neq 0 e x\neq -1 (para poder dividir) e depois checar casos especiais (quando denominadores seriam zero).
Das equações (1) e (2) podemos expressar \lambda de duas maneiras:
\lambda = \frac{y}{2(x+1)} \quad\text{(se }x\neq -1\text{)},
\lambda = \frac{x}{2y} \quad\text{(se }y\neq 0\text{)}.
Igualando as duas expressões (eliminando \lambda):
\frac{y}{2(x+1)} = \frac{x}{2y} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = x(x+1).
Isso é uma relação entre x e y que deve ser satisfeita além da restrição (3).
Substituímos y^{2}=x(x+1) na restrição (3):
(x+1)^{2} + x(x+1) = 1.
Coloco em evidência (x+1):
(x+1)\big((x+1)+x\big) = 1 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)(2x+1) = 1.
Expandindo para resolver:
2x^{2}+3x+1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+3x = 0.
Colocando em fator:
x(2x+3)=0.
Portanto as soluções para x são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Encontrar os y correspondentes usando y^{2}=x(x+1).
  • Para \,x=0:
y^{2}=0\cdot(0+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Verificação na restrição: (0+1)^{2}+0^{2}=1 OK. Então um ponto crítico é (0,0).
  • Para \,x=-\tfrac{3}{2}:
y^{2} = -\tfrac{3}{2}\left(-\tfrac{3}{2}+1\right) = -\tfrac{3}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{4},
logo
y = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Verificação na restrição: (-\tfrac{3}{2}+1)^{2}+y^{2}=(-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=1 OK. Portanto dois pontos críticos são \big(-\tfrac{3}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) e \big(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big).

Passo 6

Checar os casos especiais que deixamos de dividir: y=0 e x=-1.
  • Se y=0, da equação (2) temos x-2\lambda\cdot 0 = x = 0. Isso produz o ponto (0,0), que já foi encontrado.
  • Se x=-1, da equação (1) temos y-2\lambda(x+1)=y-2\lambda\cdot 0 = y = 0. Mas o ponto (x,y)=(-1,0) não satisfaz a restrição porque (x+1)^{2}+y^{2}-1 = 0+0-1=-1\neq 0. Na verdade na restrição quando x=-1 precisamos ter y^{2}=1, ou seja y=\pm 1; esses pontos não satisfazem (1) nem (2). Logo não são críticos de Lagrange. Portanto não há novos candidatos além dos já encontrados.

Passo 7

Avaliar f(x,y)=x y nos pontos críticos para decidir máximos e mínimos.
  • Em \,(0,0):
f(0,0)=0\cdot 0=0.
  • Em \,\big(-\tfrac{3}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big):
f\!\left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\tfrac{3\sqrt{3}}{4}.
  • Em \,\big(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big):
f\!\left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{3}{2}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{3\sqrt{3}}{4}.
Comparando os valores: \tfrac{3\sqrt{3}}{4} é o maior, -\tfrac{3\sqrt{3}}{4} é o menor, e 0 fica entre eles. Pela continuidade e pelo fato de a restrição ser compacta, esses valores são, de fato, o máximo e o mínimo globais sobre o círculo.

Passo 8

Conclusão amigável e rápida: o máximo de f ocorre no ponto onde o produto x y é positivo e máximo em módulo, e o mínimo ocorre no ponto simétrico com sinal trocado. Você já tem os pontos e os valores exatos — anota aí na prova com calma que tá certinho.

Resposta

Máximo: \dfrac{3\sqrt{3}}{4} em \left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).\n
Mínimo: -\dfrac{3\sqrt{3}}{4} em \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Exercícios relacionados