Determine tildea(z), onde:
an=1n se n>0 e a0=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada em z unilateral de a_n, onde a_0=0 e a_n=1/n para n>0. O conteúdo é transformada em z, que se define por A(z)=sumn=0^inftyanz^-n. Vamos usar isso.

Passo 2

Precisamos reconhecer a série sumn=1^infty1nx^n. Há um resultado clássico de séries de potências que diz que sumn=1^inftyx^nn=-ln(1-x) para |x|<1.

Passo 3

Para nossa transformada, fazemos x=z^-1. Assim,
A(z)=sumn=1^infty1nz^-n= -lnl(1-z^-1r),

Passo 4

podemos ainda reescrever usando logaritmo de fração:
A(z)=lnl(zz-1r)

Passo 5

Vale lembrar que o raio de convergência dessa série é |z^-1|<1, ou seja |z|>1.

Resposta

tilde a(z)= -lnl(1-z^-1r), com região de convergência |z|>1.

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