Determine tildea(z), onde:
an=1n+1

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada em z unilateral tildea(z) = sumn=0^infty an z^-n da sequência an = 1n+1. Vamos usar séries conhecidas de logaritmo para isso.

Passo 2

Começamos pela definição da transformada em z unilateral:
tildea(z) = sumn=0^infty 1n+1,z^-n

Passo 3

Fazemos a mudança de índice m = n+1, ou seja, n = m-1. A soma vira:
sumn=0^infty 1n+1,z^-n = summ=1^infty 1m,z^-(m-1) = zsumm=1^infty 1m,z^-m

Passo 4

Reconhecemos a série de Taylor do logaritmo: para |x|<1 vale
summ=1^infty x^mm = -ln(1 - x)
Aqui tomamos x = z^-1, válido quando |z^-1|<1 (isto é, |z|>1).

Passo 5

Substituindo na soma temos
zsumm=1^infty 1m,z^-m = -zlnl(1 - z^-1r)
Podemos ainda reescrever 1 - z^-1 = z-1z, logo
tildea(z) = -zlnl(z-1zr) = zlnl(zz-1r),
com região de convergência |z|>1.

Resposta

tildea(z) = -,z,lnl(1 - z^-1r) = z,lnl(tfraczz-1r), |z|>1

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