Se
.
Mostre que
é independente do caminho (campo conservativo). Encontre a função potencial.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo, ou seja, que a integral de linha
não depende do caminho escolhido. Além disso, precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, ou seja,
e
. Uma condição necessária para que isso aconteça é que as derivadas cruzadas sejam iguais:
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
:
Como
, isso confirma que o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
-
Integrandoem relação a : -
Aqui,é uma função que depende somente de e surge da constante de integração.
Passo 5
Para determinar
, usamos a outra condição:
-
Calculando a derivada deem relação a : -
Igualando com: -
Percebemos quecancela dos dois lados, restando: -
Integrandoem relação a : -
, onde é uma constante.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
-
Como a constantenão afeta o gradiente, podemos descartá-la para simplificar: -
Resposta
A função potencial do campo
é
.