Se F(x, y)=(2 x+y^3) imath+(3 x y^2+4) j.
Mostre que integralC^square F cdot d r é independente do caminho (campo conservativo). Encontre a função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo vetorial F(x, y) = (2x + y^3),imath + (3x y^2 + 4),j é conservativo, ou seja, que a integral de linha integralC^square F cdot dr não depende do caminho escolhido. Além disso, precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial F = M,imath + N,j é conservativo se existir uma função escalar phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, M = partial phipartial x e N = partial phipartial y. Uma condição necessária para que isso aconteça é que as derivadas cruzadas sejam iguais: partial Mpartial y = partial Npartial x.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de M e N:
  • M(x, y) = 2x + y^3
    • partial Mpartial y = 3y^2
  • N(x, y) = 3x y^2 + 4
    • partial Npartial x = 3y^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x = 3y^2, isso confirma que o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
  • partial phipartial x = M = 2x + y^3
    Integrando M em relação a x:
  • phi(x, y) = integral (2x + y^3) ,dx = x^2 + y^3x + h(y)
    Aqui, h(y) é uma função que depende somente de y e surge da constante de integração.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos a outra condição:
  • partial phipartial y = N = 3x y^2 + 4
    Calculando a derivada de phi(x, y) em relação a y:
  • partial phipartial y = 3y^2x + h'(y)
    Igualando com N:
  • 3y^2x + h'(y) = 3x y^2 + 4
    Percebemos que 3y^2x cancela dos dois lados, restando:
  • h'(y) = 4
    Integrando h'(y) em relação a y:
  • h(y) = 4y + C, onde C é uma constante.

Passo 6

Substituindo h(y) na expressão de phi(x, y):
  • phi(x, y) = x^2 + y^3x + 4y + C
    Como a constante C não afeta o gradiente, podemos descartá-la para simplificar:
  • phi(x, y) = x^2 + x y^3 + 4y

Resposta

A função potencial do campo F é phi(x, y) = x^2 + x y^3 + 4y.

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