Determine tildea(z), onde:
an=2^n se n for par e an=(-1)^n do contrário

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada de Z tilde a(z) de uma sequência an definida por partes: an=2^n quando n é par e an=(-1)^n quando n é ímpar. Vamos usar o conceito de transformada de Z, que é definida como tilde a(z)=sumn=0^inftyan z^-n.

Passo 2

Para lidar com a definição por partes, separamos a soma em dois termos: um sobre índices pares n=2k e outro sobre índices ímpares n=2k+1. Assim,
tilde a(z)=sumk=0^inftya2kz^-2k+sumk=0^inftya2k+1z^-(2k+1)

Passo 3

No caso dos termos pares temos a2k=2^2k=4^k, então
sumk=0^inftya2kz^-2k=sumk=0^infty4^k,z^-2k=sumk=0^inftyl(4z^-2r)^k =11-4z^-2 =z^2z^2-4,

Passo 4

Nos termos ímpares temos a2k+1=(-1)^2k+1=-1, logo
sumk=0^inftya2k+1z^-(2k+1) =sumk=0^infty(-1),z^-(2k+1) =-z^-1sumk=0^infty(z^-2)^k =-z^-11-z^-2 =-zz^2-1

Passo 5

Somando as partes e simplificando, obtemos
tilde a(z)=z^2z^2-4-zz^2-1

Resposta

tilde a(z)=z^2z^2-4-zz^2-1,|z|>2

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