Verifique que a aplicação
é uma superfície parametrizada. Descreva o traço de
da forma
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma aplicação $ X(u, v) = (\cos u, 2 \sin v, v) $ definida para todos os $ u, v $ reais. A primeira parte da questão quer que a gente verifique se essa aplicação realmente define uma superfície parametrizada. Depois, a gente precisa descrever essa superfície na forma $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : F(x, y, z)=0\right} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície parametrizada e como encontrar a equação implícita de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície parametrizada. Basicamente, uma superfície no espaço tridimensional pode ser descrita por uma função que associa cada par de parâmetros $ (u, v) $ a um ponto $ (x, y, z) $ no espaço. Para que essa função realmente defina uma superfície, ela precisa ser suave (ou seja, diferenciável) e seus vetores tangentes não podem ser paralelos, o que garante que a superfície seja bem comportada.
Passo 3
Vamos verificar se $ X(u, v) = (\cos u, 2 \sin v, v) $ é uma superfície parametrizada. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais em relação a $ u $ e $ v $:
Agora, calculamos o produto vetorial $ X_u \times X_v $ para verificar se os vetores são linearmente independentes:
Simplificando:
O produto vetorial não é o vetor nulo a menos que $ \sin u = 0 $, o que acontece apenas para alguns valores específicos de $ u $. Portanto, para a maioria dos valores de $ u $ e $ v $, os vetores $ X_u $ e $ X_v $ são linearmente independentes, o que confirma que $ X(u, v) $ define uma superfície parametrizada.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a descrição dessa superfície na forma $ S = \left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : F(x, y, z)=0\right} $. Para isso, vamos expressar $ u $ e $ v $ em termos de $ x $, $ y $ e $ z $ a partir das equações dadas por $ X(u, v) $:
Da terceira equação, temos $ v = z $. Substituindo isso na segunda equação:
Agora, da primeira equação:
Agora, não precisamos mais de $ u $, pois já expressamos $ y $ e $ z $ em termos de $ x $. Não há uma relação direta entre $ x $ e $ y $ que envolva $ z $, então a equação implícita da superfície será baseada nas relações que já encontramos.
Resposta
A superfície parametrizada é dada por $ X(u, v) = (\cos u, 2 \sin v, v) $ e sua descrição implícita é:
Simplificando, a equação que descreve a superfície é: