Determine uma T.L.
tal que:
- O polinômio
pertence ao núcleo de
- A matriz
pertence à imagem de
T
- O polinômio
q(x)=1 não pertence ao núcleo de
T
Passo 1
Vamos usar a base canônica
1,x,x^2 de
P2( R) . Queremos
1 .
T(1+x^2)=0 ,
2 .
T(1)neq0 ,
3 .
2&00&1 esteja na imagem de
T .
Para garantir
T(1+x^2)=T(1)+T(x^2)=0 basta escolher
Para que a imagem contenha
2&00&1 e ao mesmo tempo
T(1)neq0 , podemos definir
Passo 2
Assim, para um polinômio genérico
p(x)=a+bx+cx^2 temos, por linearidade,
Em forma de matriz:
Verificações imediatas:
- Para
(1+x^2 )a=1,b=0,c=1
- Para
(1 )a=1,b=0,c=0
logo
1 não está no núcleo.
Passo 3
Para mostrar que
2&00&1 está na imagem, resolvemos
Basta escolher, por exemplo,
a=2 ,
b=1 ,
c=0 , ou seja o polinômio
2+x . De fato
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz todas as condições é