Determine uma T.L. T: P2(R) M2 times 2(R) tal que:
  1. O polinômio p(x)=1+x^2 pertence ao núcleo de T
  2. A matriz (ll2 & 0 0 & 1) pertence à imagem de T
  3. O polinômio q(x)=1 não pertence ao núcleo de T

Passo 1

Vamos usar a base canônica 1,x,x^2 de P2( R). Queremos
1. T(1+x^2)=0,
2. T(1)neq0,
3. 2&00&1 esteja na imagem de T.
Para garantir T(1+x^2)=T(1)+T(x^2)=0 basta escolher
T(x^2)=-,T(1)
Para que a imagem contenha 2&00&1 e ao mesmo tempo T(1)neq0, podemos definir
T(1)=E11 =1&00&0, T(x)=E22 =0&00&1, T(x^2)=-E11

Passo 2

Assim, para um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^2 temos, por linearidade,
T(a+bx+cx^2) =a,T(1)+b,T(x)+c,T(x^2) = a,E11+b,E22+c,(-E11) =(a-c),E11+b,E22
Em forma de matriz:
T(a+bx+cx^2) =a-c&00&b
Verificações imediatas:
  • Para 1+x^2 ( a=1,b=0,c=1)
T(1+x^2) =1-1&00&0 =0
  • Para 1 ( a=1,b=0,c=0)
T(1) =1-0&00&0 =1&00&0neq0,
logo 1 não está no núcleo.

Passo 3

Para mostrar que 2&00&1 está na imagem, resolvemos
a-c&00&b =2&00&1 Longrightarrow a-c=2,;b=1
Basta escolher, por exemplo, a=2, b=1, c=0, ou seja o polinômio 2+x. De fato
T(2+x) =2-0&00&1 =2&00&1

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz todas as condições é
Tl(a + b x + c x^2r) = a-c & 0 [6pt] 0 & b ]

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