Questão 2 (2,0 pontos)
Sejam a=(3,-1,2) e b=(1,4,-3).
(a) Calcule projb a
(b) Determine um vetor unitário ortogonal a ambos a e b

Passo 1

O enunciado dá os vetores a=(3,-1,2) e b=(1,4,-3) e pede (a) a projeção de a sobre b e (b) um vetor unitário ortogonal a ambos. Para isso vamos usar produto escalar, norma de vetor e produto vetorial.

Passo 2

Para a projeção usamos a fórmula
projba = acdotb|b|^2,b
Calculamos primeiro o produto escalar
acdotb =3cdot1 + (-1)cdot4 + 2cdot(-3) =3 - 4 - 6 =-7,
e em seguida a norma ao quadrado de b:
|b|^2 =1^2 + 4^2 + (-3)^2 =1 + 16 + 9 =26
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projba =-726,(1,4,-3) =l(-tfrac726,-tfrac2826,tfrac2126r) =l(-tfrac726,-tfrac1413,tfrac2126r)

Passo 3

Para achar um vetor ortogonal a a e b calculamos o produto vetorial
atimesb = i&j&k 3 & -1 & 2 1 & 4 & -3 =(-5,,11,,13)
A norma desse vetor é
|atimesb| =raiz(-5)^2 + 11^2 + 13^2 =raiz25 + 121 + 169 =raiz315 =3raiz35
Dividindo pelo módulo, obtemos um vetor unitário
13raiz35,(-5,11,13),
que de fato é ortogonal a a e b.

Resposta

(a) projba =l(-tfrac726,-tfrac1413,tfrac2126r)
(b) Um vetor unitário ortogonal a a e b é
13raiz35(-5,,11,,13)

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