Para a seguinte função de resposta, determine se pode haver uma aproximação de cancelamento de polos e zeros. Caso seja possível, obtenha a resposta c(t) aproximada.
C(s) 197,14(s+7)s(s+6,9)(s+10)(s+20)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de resposta dada por:
C(s) = 197,14(s + 7)s(s + 6,9)(s + 10)(s + 20)
A missão é descobrir se dá pra simplificar essa função aproximando o cancelamento de polos e zeros. Se der, a gente também vai encontrar a resposta no tempo, que é o c(t). Para isso, vamos usar conceitos de funções de transferência, identificar polos e zeros, e ver se tem algum par que tá bem próximo pra gente poder cancelar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e os polos dessa função:
  • Zeros: São os valores de que anulam o numerador. Aqui, temos um zero em .
  • Polos: São os valores de que anulam o denominador. Aqui, temos polos em:

Passo 3

Agora, vamos olhar pra lista de polos e zeros pra ver se tem algum polo e zero que estão bem próximos. Olhando aqui:
  • Zero em
  • Polo em
Esses dois estão bem juntinhos! A diferença entre eles é de unidades, o que é bem pequeno comparado com as outras distâncias entre polos e zeros.

Passo 4

Como o zero em e o polo em estão bem próximos, podemos considerar um cancelamento aproximado. Isso significa que a gente pode simplificar a função de transferência eliminando esse par de polo e zero, facilitando a análise sem perder muita precisão.

Passo 5

Vamos simplificar a função de transferência cancelando o zero e o polo próximos:
Originalmente:
C(s) = 197,14(s + 7)s(s + 6,9)(s + 10)(s + 20)
Cancelando o zero em Caprox(s) = 197,14s(s + 10)(s + 20) com o polo em , a função simplificada fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a resposta no tempo Caprox(s) = 197,14s(s + 10)(s + 20) aplicando a transformada inversa de Laplace na função simplificada:
Primeiro, escrevemos a função de transferência simplificada:
Caprox(s) = As + Bs + 10 + Cs + 20
Para facilitar a inversão, vamos decompor em frações parciais:
Caprox(s) approx 0,9857s - 0,9857s + 10 + 0,9857s + 20
Resolvendo para c(t) = 0,9857 cdot 1 - 0,9857 cdot e^-10t + 0,9857 cdot e^-20t , c(t) approx 0,9857 (1 - e^-10t + e^-20t) e , encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Simplificando:

Resposta

A resposta aproximada no tempo é:
c(t) approx 0,9857 (1 - e^-10t + e^-20t)

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