Para a seguinte função de resposta, determine se pode haver uma aproximação de cancelamento de polos e zeros. Caso seja possível, obtenha a resposta
aproximada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de resposta dada por:
A missão é descobrir se dá pra simplificar essa função aproximando o cancelamento de polos e zeros. Se der, a gente também vai encontrar a resposta no tempo, que é o
. Para isso, vamos usar conceitos de funções de transferência, identificar polos e zeros, e ver se tem algum par que tá bem próximo pra gente poder cancelar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e os polos dessa função:
-
Zeros: São os valores de
que anulam o numerador. Aqui, temos um zero em . -
Polos: São os valores de
que anulam o denominador. Aqui, temos polos em: -
Passo 3
Agora, vamos olhar pra lista de polos e zeros pra ver se tem algum polo e zero que estão bem próximos. Olhando aqui:
- Zero em
- Polo em
Esses dois estão bem juntinhos! A diferença entre eles é de
unidades, o que é bem pequeno comparado com as outras distâncias entre polos e zeros.
Passo 4
Como o zero em
e o polo em
estão bem próximos, podemos considerar um cancelamento aproximado. Isso significa que a gente pode simplificar a função de transferência eliminando esse par de polo e zero, facilitando a análise sem perder muita precisão.
Passo 5
Vamos simplificar a função de transferência cancelando o zero e o polo próximos:
Originalmente:
Cancelando o zero em
com o polo em
, a função simplificada fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a resposta no tempo
aplicando a transformada inversa de Laplace na função simplificada:
Primeiro, escrevemos a função de transferência simplificada:
Para facilitar a inversão, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, encontramos:
Então:
Aplicando a transformada inversa:
Simplificando:
Resposta
A resposta aproximada no tempo é: