Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x, y, z) = \frac{y{2}}{x{2} + z^{2} + 1} $ e precisamos encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $, tratando as outras como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função pode ser escrita como:
Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra do poder e a regra do produto. Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Aqui, a função é:
Ao derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes. Usamos a derivada de uma função quadrática:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial z} $.
A função continua sendo:
Derivando em relação a $ z $, usamos novamente a regra do poder:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{y{2}}{x{2} + z^{2} + 1} $ são: