Determine todas as derivadas parciais (de 1^a ordem) da função:
(b) g(x, y, z)=y^2x^2+z^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x, y, z) = \frac{y{2}}{x{2} + z^{2} + 1} $ e precisamos encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $, tratando as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função pode ser escrita como:
g
Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra do poder e a regra do produto. Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, a derivada fica:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Aqui, a função é:
g
Ao derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes. Usamos a derivada de uma função quadrática:
y

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial z} $.
A função continua sendo:
g
Derivando em relação a $ z $, usamos novamente a regra do poder:
z

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y, z) = \frac{y{2}}{x{2} + z^{2} + 1} $ são:
g(x, y, z) = y^2x^2 + z^2 + 1

Exercícios relacionados