Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(a)
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(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = x^{2} z e^{y} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis. Para resolver, vamos derivar a função em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $ separadamente, tratando as outras como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Aqui, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A função fica $ f(x, y, z) = x^{2} z e^{y} $. A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $, então multiplicamos isso pelas constantes $ z e^{y} $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes. A única parte da função que depende de $ y $ é $ e^{y} $. A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $, então multiplicamos isso por $ x^{2} z $.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A função em relação a $ z $ é $ x^{2} z e^{y} $. A derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1, então a derivada parcial é apenas $ x^{2} e^{y} $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: