Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(g) f(x, y)=ln (y x^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \ln(yx^{2} + y^{2}) $. Isso tá relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função $ f(x, y) $ é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia.
A derivada da função logarítmica $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Então, aplicando a regra da cadeia:
f

Passo 3

Agora, vamos derivar o que está dentro do logaritmo em relação a $ x $:
x
Como $ y $ é tratado como uma constante ao derivar em relação a $ x $, temos:
partialpartial x(yx^2 + y^2) = y cdot partialpartial x(x^2) + partialpartial x(y^2)
Então,
y

Passo 4

Voltando à derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Podemos simplificar esse resultado dividindo numerador e denominador por $ y $:
x

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra da cadeia:
f

Passo 6

Derivando o que está dentro do logaritmo em relação a $ y $:
y

Passo 7

Voltando à derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ y $:
y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = 2xx^2 + y
e
partial fpartial y = x^2 + 2yyx^2 + y^2 = x^2/y + 2x^2 + y

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