Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \ln(yx^{2} + y^{2}) $. Isso tá relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como aplicar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função $ f(x, y) $ é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia.
A derivada da função logarítmica $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar o que está dentro do logaritmo em relação a $ x $:
Como $ y $ é tratado como uma constante ao derivar em relação a $ x $, temos:
Então,
Passo 4
Voltando à derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Podemos simplificar esse resultado dividindo numerador e denominador por $ y $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Derivando o que está dentro do logaritmo em relação a $ y $:
Passo 7
Voltando à derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e