1-2. Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
  1. a) f(x, y)=(x-2)^2+(y+1)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y) = (x−2)² + (y+1)² definida em ℝ². O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e o Hessiano para classificar o tipo de extremo.

Passo 2

Por inspeção vemos que tanto (x−2)² quanto (y+1)² são sempre ≥0, logo a soma só pode ser ≥0. O valor mínimo possível é 0, que acontece quando x−2=0 e y+1=0, isto é, em (2,−1). Como f cresce sem limite quando |x|+|y|→∞, não há máximo absoluto.

Passo 3

Agora, pelo método de cálculo, computamos o gradiente:

Igualando a zero, 2(x−2)=0 e 2(y+1)=0, obtemos o ponto crítico (2,−1), o mesmo que por inspeção.

Passo 4

Para confirmar a natureza desse ponto, avaliamos o Hessiano:
nabla^2 f(x,y)=2 & 00 & 2
Como os autovalores são ambos positivos, o Hessiano é definido positivo, indicando um mínimo local. Por ser soma de quadrados, esse mínimo é global.

Resposta

A função tem um único mínimo absoluto em (2,−1) com valor f(2,−1)=0. Não existe máximo absoluto.

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