1-2. Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
- a)
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x,y) = (x−2)² + (y+1)² definida em ℝ². O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis: vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e o Hessiano para classificar o tipo de extremo.
Passo 2
Por inspeção vemos que tanto (x−2)² quanto (y+1)² são sempre ≥0, logo a soma só pode ser ≥0. O valor mínimo possível é 0, que acontece quando x−2=0 e y+1=0, isto é, em (2,−1). Como f cresce sem limite quando |x|+|y|→∞, não há máximo absoluto.
Passo 3
Agora, pelo método de cálculo, computamos o gradiente:
Igualando a zero, 2(x−2)=0 e 2(y+1)=0, obtemos o ponto crítico (2,−1), o mesmo que por inspeção.
Passo 4
Para confirmar a natureza desse ponto, avaliamos o Hessiano:
Como os autovalores são ambos positivos, o Hessiano é definido positivo, indicando um mínimo local. Por ser soma de quadrados, esse mínimo é global.
Resposta
A função tem um único mínimo absoluto em (2,−1) com valor f(2,−1)=0. Não existe máximo absoluto.