Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $. Isso significa que vamos calcular como $ g $ muda em relação a $ x $ e em relação a $ y $ separadamente. Para isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e a regra da cadeia na derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função é $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $. Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
Usamos a regra da cadeia: se temos $ \sqrt{u} $, a derivada é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} $.
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y^{2} + \cos^{2} x $ em relação a $ x $. Como $ y $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ y^{2} $ é zero. A derivada de $ \cos^{2} x $ usa a regra da cadeia novamente:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, que denotamos por $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Usando a mesma regra da cadeia:
Passo 6
Derivando $ y^{2} + \cos^{2} x $ em relação a $ y $:
Então,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $ são:
e