Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(h) g(x, y)=raizy^2+cos ^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $. Isso significa que vamos calcular como $ g $ muda em relação a $ x $ e em relação a $ y $ separadamente. Para isso, precisamos saber sobre derivadas parciais e a regra da cadeia na derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ \frac{\partial g}{\partial x} $.
A função é $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $. Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
Usamos a regra da cadeia: se temos $ \sqrt{u} $, a derivada é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} $.
Então,
g

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y^{2} + \cos^{2} x $ em relação a $ x $. Como $ y $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ y^{2} $ é zero. A derivada de $ \cos^{2} x $ usa a regra da cadeia novamente:
y^2 + cos^2 x

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial gpartial x = 12raizy^2 + cos^2 x cdot (-2 sin x cos x) = -sin x cos xraizy^2 + cos^2 x

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, que denotamos por $ \frac{\partial g}{\partial y} $.
Usando a mesma regra da cadeia:
g

Passo 6

Derivando $ y^{2} + \cos^{2} x $ em relação a $ y $:
y^2 + cos^2 x
Então,
y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \sqrt{y^{2} + \cos^{2} x} $ são:
g(x, y) = raizy^2 + cos^2 x
e
partial gpartial x = -sin x cos xraizy^2 + cos^2 x

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