Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(a) f(x, y)=3+3 y-2 x^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = 3 + 3y - 2x^{2} $. Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
O que é uma derivada parcial?
É a derivada de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Para calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
  1. Derivada de $ 3 $ em relação a $ x $:
    Como $ 3 $ é uma constante, sua derivada é 0.
  2. Derivada de $ 3y $ em relação a $ x $:
    Aqui, $ y $ é considerado uma constante quando derivamos em relação a $ x $. Então, a derivada é 0.
  3. Derivada de $ -2x^{2} $ em relação a $ x $:
    Usamos a regra da potência: a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
    Portanto, a derivada de $ -2x^{2} $ é $ -4x $.
Então, juntando tudo:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Para calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
  1. Derivada de $ 3 $ em relação a $ y $:
    Como $ 3 $ é uma constante, sua derivada é 0.
  2. Derivada de $ 3y $ em relação a $ y $:
    A derivada de $ 3y $ em relação a $ y $ é 3.
  3. Derivada de $ -2x^{2} $ em relação a $ y $:
    Aqui, $ x $ é considerado uma constante quando derivamos em relação a $ y $. Então, a derivada é 0.
Então, juntando tudo:
f

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = -4x
e
partial fpartial y = 3

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