Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
© h(x, y)=4 x e^y+x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ h(x, y) = 4x e^{y} + x^{3} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas de $ h $ em relação a $ x $ e em relação a $ y $. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que vamos chamar de $ \frac{\partial h}{\partial x} $. As derivadas parciais são como as normais, mas consideram as outras variáveis como constantes. Então, quando derivamos em relação a $ x $, o $ y $ vai ficar como está.
A função é $ h(x, y) = 4x e^{y} + x^{3} $. Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de $ 4x e^{y} $ em relação a $ x $:
    • Aqui, $ e^{y} $ é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a $ x $.
    • A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é simplesmente $ 4 $.
    • Então, temos $ 4 e^{y} $.
  2. Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $:
    • Usamos a regra do poder: a derivada de $ x^{n} $ é $ n x^{n-1} $.
    • Então, a derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $.
Agora, somamos as derivadas dos dois termos:
h

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial h}{\partial y} $.
Novamente, usamos a ideia de manter $ x $ constante enquanto derivamos em relação a $ y $.
  1. Derivada de $ 4x e^{y} $ em relação a $ y $:
    • Aqui, $ 4x $ é tratado como uma constante.
    • A derivada de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $.
    • Então, temos $ 4x e^{y} $.
  2. Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ y $:
    • Como $ x^{3} $ não depende de $ y $, a derivada é $ 0 $.
Somando as derivadas dos dois termos:
h

Resposta

As derivadas parciais de $ h(x, y) = 4x e^{y} + x^{3} $ são:
h(x, y) = 4x e^y + x^3
partial hpartial x = 4 e^y + 3x^2

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