Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(b) g(x, y)=x^2 y+raiz2 x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = x^{2} y + \sqrt{2xy} $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ x $, que a gente denota por $ \frac{\partial g}{\partial x} $. Isso significa que vamos tratar $ y $ como uma constante e derivar $ g $ em relação a $ x $.
A função é $ g(x, y) = x^{2} y + \sqrt{2xy} $.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} y $ em relação a $ x $ é $ 2xy $, porque o $ y $ é constante.
  • A derivada de $ \sqrt{2xy} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{2} \cdot (2xy)^{-1/2} \cdot 2y $. Aqui usamos a regra da cadeia: derivamos a raiz quadrada e multiplicamos pela derivada interna $ 2y $.
Simplificando a segunda derivada:
x
Então, somando os dois resultados:
partial gpartial x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos $ g $ em relação a $ y $.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} y $ em relação a $ y $ é $ x^{2} $, já que $ x^{2} $ é constante.
  • A derivada de $ \sqrt{2xy} $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{2} \cdot (2xy)^{-1/2} \cdot 2x $. Usamos novamente a regra da cadeia: derivamos a raiz quadrada e multiplicamos pela derivada interna $ 2x $.
Simplificando a segunda derivada:
y
Então, somando os dois resultados:
partial gpartial y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = x^{2} y + \sqrt{2xy} $ são:
g(x, y) = x^2 y + raiz2xy
partial gpartial x = 2xy + yraiz2xy

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