Exercício 5: Calcule a integral
(g) integral z^3 e^z d z,

Passo 1

A gente tem a integral integral z^3 e^z,dz. O conteúdo aqui é integração por partes repetida, usando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolho na primeira aplicação u = z^3 e dv = e^z,dz. Então du = 3z^2,dz e v = e^z. Isso nos dá:
integral z^3 e^z,dz = z^3 e^z - integral 3z^2 e^z,dz = z^3 e^z - 3integral z^2 e^z,dz

Passo 3

Para integral z^2 e^z,dz, aplicamos partes de novo com u = z^2, dv = e^z,dz. Então du = 2z,dz e v = e^z. Assim:
integral z^2 e^z,dz = z^2 e^z - integral 2z e^z,dz = z^2 e^z - 2integral z e^z,dz
Substituindo de volta, a integral original vira
integral z^3 e^z,dz = z^3 e^z - 3l(z^2 e^z - 2integral z e^z,dzr) = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6integral z e^z,dz

Passo 4

Agora resolvemos integral z e^z,dz usando partes mais uma vez: escolha u = z, dv = e^z,dz. Então du = dz e v = e^z. Isso dá
integral z e^z,dz = z e^z - integral e^z,dz = z e^z - e^z

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão acumulada, obtemos
integral z^3 e^z,dz = z^3 e^z - 3z^2 e^z + 6l(z e^z - e^zr) + C
Agrupando tudo em um fator e^z, fica
integral z^3 e^z,dz = e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

Resposta

e^zl(z^3 - 3z^2 + 6z - 6r) + C

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