Exercício 5: Calcule a integral
(l) integral t sec ^2 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de tsec^2 t,dt. Esse tipo de integral envolve a técnica de integração por partes, e vamos precisar da fórmula que relaciona integral u,dv com u e v.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por
integral u,dv = u,v - integral v,du
Ela é útil quando conseguimos dividir a integral em um produto u e um diferencial dv cujas derivada e primitiva sejam mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Escolhemos
u = t, dv = sec^2 t,dt
Então
du = dt, v = integral sec^2 t,dt = tan t

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes, obtemos
integral tsec^2 t,dt = tcdottan t - integral tan t,dt

Passo 5

Agora precisamos calcular integral tan t,dt. Como tan t = sin tcos t, fazemos a substituição w = cos t, de modo que dw = -sin t,dt. A integral fica
integral tan t,dt = -integral 1w,dw = -ln|w| + C = -ln|cos t| + C

Passo 6

Substituindo de volta, temos
integral tsec^2 t,dt = ttan t - l(-ln|cos t|r) + C = ttan t + ln|cos t| + C

Resposta

ttan t + ln|cos t| + C

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