Determine todas as derivadas parciais (de
ordem) da função:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = e^{xyz} - \cos z $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde aprendemos a calcular derivadas parciais de funções com várias variáveis. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas, além de tratar cada variável de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = e^{xyz} - \cos z $. A derivada de $ e^{xyz} $ em relação a $ x $ é $ yz \cdot e^{xyz} $ porque usamos a regra da cadeia: a derivada de $ e^{u} $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = xyz $. Já a derivada de $ -\cos z $ em relação a $ x $ é zero, já que não há $ x $ nessa parte da função.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes.
Novamente, a função é $ f(x, y, z) = e^{xyz} - \cos z $. A derivada de $ e^{xyz} $ em relação a $ y $ é $ xz \cdot e^{xyz} $ usando a regra da cadeia, onde $ u = xyz $. A derivada de $ -\cos z $ em relação a $ y $ é zero, pois não há $ y $ nessa parte.
Então:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Aqui, $ x $ e $ y $ são tratados como constantes.
A função é $ f(x, y, z) = e^{xyz} - \cos z $. A derivada de $ e^{xyz} $ em relação a $ z $ é $ xy \cdot e^{xyz} $ seguindo a regra da cadeia, onde $ u = xyz $. A derivada de $ -\cos z $ em relação a $ z $ é $ \sin z $, porque a derivada de $ \cos z $ é $ -\sin z $ e o sinal negativo original cancela.
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: