Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
(e) g(x, y)=2 yraizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função $ g(x, y) = \frac{2y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que dependem de mais de uma variável, aplicando as regras de derivação apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar $ g $ considerando $ y $ como uma constante.
A função é:
g
Podemos reescrever a raiz como uma potência fracionária:
x
Agora, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em relação a $ x $.

Passo 3

Aplicando a derivada em relação a $ x $:
x
Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de $ (x^{2} + y{2}){-1/2} $ em relação a $ x $ é $ -\frac{1}{2} (x^{2} + y{2}){-3/2} \cdot 2x $.

Passo 4

Simplificando os termos:
partial gpartial x = 2y cdot ( -12 ) cdot 2x cdot (x^2 + y^2)^-3/2
partial gpartial x = -2y cdot x cdot (x^2 + y^2)^-3/2

Passo 5

Agora, vamos achar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial g}{\partial y} $. Desta vez, vamos derivar em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
Começamos novamente com a função:
g
E reescrevemos como:
y

Passo 6

Aplicando a derivada em relação a $ y $:
y
Aqui usamos a regra do produto: derivamos $ 2y $ que dá $ 2 $, e mantemos $ (x^{2} + y{2}){-1/2} $ como está, mais $ 2y $ vezes a derivada de $ (x^{2} + y{2}){-1/2} $ em relação a $ y $, que é $ -\frac{1}{2} (x^{2} + y{2}){-3/2} \cdot 2y $.

Passo 7

Simplificando os termos:
partial gpartial y = 2 (x^2 + y^2)^-1/2 - 2y^2 (x^2 + y^2)^-3/2
Podemos fatorar o termo comum $ 2 (x^{2} + y{2}){-3/2} $:
2 (x^2 + y^2)^-3/2
partial gpartial y = 2 (x^2 + y^2)^-3/2 ( (x^2 + y^2) - y^2 )

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial gpartial x = -2x y (x^2 + y^2)^-3/2
partial gpartial y = 2x^2 (x^2 + y^2)^-3/2

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