Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
f(x, y)=5 x^{4} y^{2}+x y^{3}+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais primeiras da função
f(x,y)=5x^{4}y^{2}+xy^{3}+1.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=5x^{4}y^{2}+xy^{3}+1.çã
Perguntas a responder:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando só y muda e x fica fixo.
Regras que vamos usar (lembre que todas são as mesmas da derivada comum, aplicadas mantendo a outra variável constante):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra do múltiplo constante: uma constante pode ser tirada fora da derivada.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro positivo. Para derivada parcial com respeito a x, tratamos y como constante, e vice‑versa.
Vou aplicar essas regras termo a termo, mantendo a linguagem simples.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: aqui y é tratado como constante.
Termos da função:
5x^{4}y^{2},\qquad xy^{3},\qquad 1.
  • Para o termo 5x^{4}y^{2}: como y^{2} é constante em relação a x, podemos ver esse termo como a constante 5y^{2} multiplicando x^{4}. Aplicando a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{4}y^{2}\big)=5y^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=5y^{2}\cdot 4x^{3}=20x^{3}y^{2}.

Passo 4

Ainda para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Para o termo xy^{3}: y^{3} é constante quando derivamos em x. Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(xy^{3}\big)=y^{3}\cdot\frac{d}{dx}(x)=y^{3}\cdot 1=y^{3}.
  • Para o termo constante 1:
\frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Somando os resultados (regra da soma):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=20x^{3}y^{2}+y^{3}.

Passo 5

Derivada parcial em relação a y: agora x é tratado como constante.
Termos da função novamente:
5x^{4}y^{2},\qquad xy^{3},\qquad 1.
  • Para o termo 5x^{4}y^{2}: x^{4} é constante em relação a y, então vemos o termo como a constante 5x^{4} multiplicando y^{2}. Aplicando a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial y}\big(5x^{4}y^{2}\big)=5x^{4}\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=5x^{4}\cdot 2y=10x^{4}y.

Passo 6

Ainda para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Para o termo xy^{3}: x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(xy^{3}\big)=x\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{3}\big)=x\cdot 3y^{2}=3xy^{2}.
  • Para o termo constante 1:
\frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{4}y+3xy^{2}.

Passo 7

Dica final rápida: às vezes é útil colocar as derivadas em forma fatorada para visualizar fatores comuns. Por exemplo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^{2}\big(20x^{3}+y\big), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=xy\big(10x^{3}+3y\big).
Isso não é obrigatório, mas ajuda em alguns problemas (por exemplo, ao verificar pontos críticos).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=20x^{3}y^{2}+y^{3}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10x^{4}y+3xy^{2}

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