Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais primeiras da função
Informações dadas:
Perguntas a responder:
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar devagar: a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só
muda e
fica fixo.
Regras que vamos usar (lembre que todas são as mesmas da derivada comum, aplicadas mantendo a outra variável constante):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra do múltiplo constante: uma constante pode ser tirada fora da derivada.
- Regra do poder (power rule):
para inteiro positivo. Para derivada parcial com respeito a , tratamos como constante, e vice‑versa.
Vou aplicar essas regras termo a termo, mantendo a linguagem simples.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
: aqui
é tratado como constante.
Termos da função:
- Para o termo
: como é constante em relação a , podemos ver esse termo como a constante multiplicando . Aplicando a regra do poder:
Passo 4
Ainda para
:
- Para o termo
: é constante quando derivamos em . Então
- Para o termo constante
:
Somando os resultados (regra da soma):
Passo 5
Derivada parcial em relação a
: agora
é tratado como constante.
Termos da função novamente:
- Para o termo
: é constante em relação a , então vemos o termo como a constante multiplicando . Aplicando a regra do poder:
Passo 6
Ainda para
:
- Para o termo
: é constante, então
- Para o termo constante
:
Somando:
Passo 7
Dica final rápida: às vezes é útil colocar as derivadas em forma fatorada para visualizar fatores comuns. Por exemplo:
Isso não é obrigatório, mas ajuda em alguns problemas (por exemplo, ao verificar pontos críticos).