Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo principal envolve usar a regra da cadeia e a regra do produto para obter derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia em cada variável, temos
Passo 3
Agora a derivada parcial de segunda ordem em
(isto é,
). Partimos de
e usamos a regra do produto:
Passo 4
A derivada mista
obtemos diferenciando
em relação a
, e a simétrica
diferenciando
em relação a
. Calculando em um dos casos:
E de fato ao calcular
chega-se ao mesmo valor, logo
Passo 5
Por fim, a derivada parcial de segunda ordem em
(isto é,
). Partimos de
e aplicamos regra da cadeia: