Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=e^x^2 y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^x^2y
O conteúdo principal envolve usar a regra da cadeia e a regra do produto para obter derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia em cada variável, temos
fx=partialpartial xe^x^2y = e^x^2ycdotpartialpartial x(x^2y) =2xy,e^x^2y,
fy=partialpartial ye^x^2y = e^x^2ycdotpartialpartial y(x^2y) =x^2,e^x^2y

Passo 3

Agora a derivada parcial de segunda ordem em x (isto é, fxx). Partimos de fx=2xy,e^x^2y e usamos a regra do produto:
fxx =partialpartial xl(2xy,e^x^2yr) =2y,e^x^2y +2xycdotl(e^x^2ycdot2xyr) =2y,e^x^2y+4x^2y^2,e^x^2y

Passo 4

A derivada mista fxy obtemos diferenciando fx em relação a y, e a simétrica fyx diferenciando fy em relação a x. Calculando em um dos casos:
fxy =partialpartial yl(2xy,e^x^2yr) =2x,e^x^2y +2xycdotl(e^x^2ycdot x^2r) =2x,e^x^2y+2x^3y,e^x^2y
E de fato ao calcular partial fy/partial x chega-se ao mesmo valor, logo
fxy=fyx=2x,e^x^2y+2x^3y,e^x^2y

Passo 5

Por fim, a derivada parcial de segunda ordem em y (isto é, fyy). Partimos de fy=x^2,e^x^2y e aplicamos regra da cadeia:
fyy =partialpartial yl(x^2,e^x^2yr) =x^2cdotl(e^x^2ycdot x^2r) =x^4,e^x^2y

Resposta

fxx=2y,e^x^2y+4x^2y^2,e^x^2y, fxy=fyx=2x,e^x^2y+2x^3y,e^x^2y, fyy=x^4,e^x^2y

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