1. integral x(2 x^2+1)^6 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral x(2 x^2+1)^6 d x. Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica da matéria de Cálculo para simplificar integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = 2x^2 + 1 .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x : du/dx = 4x . Isso nos dá du = 4x , dx .

Passo 4

Queremos expressar x , dx em termos de du . Da equação anterior, temos x , dx = du4 .

Passo 5

Substituindo na integral original, fica:
integral x(2 x^2+1)^6 d x = integral u^6 cdot du4 = 14 integral u^6 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^6 :
integral u^6 du = u^77 + C

Passo 7

Voltando à variável original substituindo u = 2x^2 + 1 :
14 cdot (2x^2 +1)^77 = (2x^2 +1)^728 + C

Resposta

(2x^2 +1)^728 + C

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