Obtenha a ordem do Método de Adams-Moulton de dois passos
yn+2=yn+1+h12[-fn+8 fn+1+5 fn+2]

Passo 1

O enunciado pede para achar a ordem da fórmula implícita de Adams–Moulton de dois passos:
yn+2=yn+1+h12l[-fn+8fn+1+5fn+2r]
Estamos em matérias de métodos numéricos para EDOs e precisamos usar a definição de ordem via erro de truncamento local e expansions em série de Taylor.

Passo 2

Para determinar a ordem, usamos a noção de erro de truncamento local (ETL): substituímos a solução exata y(t) nesta fórmula e medimos a diferença
taun+2=y(tn+2)-l(y(tn+1)+tfrac h12[-y'(tn)+8y'(tn+1)+5y'(tn+2)]r)
Se taun+2)=O(h^p+1), o método é de ordem p.

Passo 3

Expandimos em Taylor em torno de tn:
y(tn+1)=yn+h y'n+tfrach^22y''n+tfrach^36y'''n+tfrach^424y^(4)n+O(h^5),
y(tn+2)=yn+2h y'n+2h^2y''n+tfrac4h^33y'''n+tfrac2h^43y^(4)n+O(h^5),
semelhantemente para y'(tn+1) e y'(tn+2).

Passo 4

Substituímos essas séries na fórmula e comparamos termo a termo. No lado direito aparecem:
yn+1+ h12[-y'n+8y'n+1+5y'n+2]=yn+2h y'n+2h^2y''n+tfrac4h^33y'''n+tfrac17h^424y^(4)n+O(h^5)
No lado esquerdo (a série de yn+2) o coeficiente de h^4 é 2/3. A diferença entre esses coeficientes é
23-1724=-124,
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taun+2=-tfrac124h^4y^(4)(tn)+O(h^5)=O(h^4)

Passo 5

Como taun+2)=O(h^4), temos p+1=4 e, portanto, o método é de ordem p=3.

Resposta

3

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