Determine as derivadas parciais indicadas:
(d) f(x, y)=cos (x+raizx^2+y^2) ; fx(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = \cos\left(x + \sqrt{x^2 + y^2}\right) $ em relação a $ x $ no ponto $ (0, 2) $. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia, já que temos funções compostas aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_x(x, y) $. Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A função $ f $ é composta por uma função cosseno e uma função dentro do cosseno que depende de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos chamar de $ u = x + \sqrt{x^2 + y^2} $. Então, $ f(x, y) = \cos(u) $. A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ u $ é $ -\sin(u) $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 4

Agora, encontramos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial x
A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
u = x + raizx^2 + y^2
Então,
x

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
fx(x, y) = -sin(u) cdot partial upartial x = -sin(x + raizx^2 + y^2) (1 + xraizx^2 + y^2)

Passo 6

Vamos avaliar $ f_x $ no ponto $ (0, 2) $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 2 $:
fx
Então:
(0, 2)

Resposta

$ f_{x}(0, 2) = -\sin(2) $

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