Determine o centro C e raio r da esfera de equação geral:
b) x^2+y^2+z^2-8 x+2 y-18+1=0

Passo 1

A questão pede para encontrar o centro e o raio da esfera dada pela equação geral x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2y - 18 + 1 = 0. O assunto é geometria analítica em R^3 e vamos usar completamento de quadrados para chegar à forma canônica da esfera.

Passo 2

Reescrevendo a equação, agrupando os termos de cada variável e simplificando a constante: nota que -18 + 1 = -17, então temos x^2 - 8x + y^2 + 2y + z^2 - 17 = 0.

Passo 3

Para completar o quadrado, lembramos que (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2. Comparando x^2 - 8x com x^2 - 2ax 2a = 8 e a = 4. Logo, x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16. De modo semelhante, y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1. O termo z^2 já está quadrático.

Passo 4

Substituindo na equação original e reunindo constantes, obtemos
(x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 + z^2 - 17 = 0
Reorganizando, fica:
(x - 4)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 34
Daí reconhecemos a forma canônica de uma esfera.

Resposta

C = (4, -1, 0) e r = raiz34

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