Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função G(t,s,z)=e^{z}cos(st−z). O conteúdo envolvido é derivação parcial em várias variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia para cada variável independente.
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo u=st−z, temos:
Passo 3
Agora vamos às derivadas de segunda ordem puras.
Para G_{tt}:
Para G_{tt}:
Para G_{ss}:
Para G_{zz}: somando as derivadas de e^z\cos u e de e^z\sin u, obtém-se
Passo 4
Agora as derivadas mistas.
Para G_{ts}=G_{st}:
Para G_{ts}=G_{st}:
Para G_{tz}:
Para G_{sz}=G_{zs}:
Resposta
Listando todas as derivadas de segunda ordem (com u=st−z):
G_{tt}=−e^z s^2\cos u
G_{ss}=−e^z t^2\cos u
G_{zz}=2e^z\sin u
G_{ts}=G_{st}=−e^z(\sin u+st\cos u)
G_{tz}=G_{zt}=e^z s(\cos u−\sin u)
G_{sz}=G_{zs}=e^z t(\cos u−\sin u)
G_{tt}=−e^z s^2\cos u
G_{ss}=−e^z t^2\cos u
G_{zz}=2e^z\sin u
G_{ts}=G_{st}=−e^z(\sin u+st\cos u)
G_{tz}=G_{zt}=e^z s(\cos u−\sin u)
G_{sz}=G_{zs}=e^z t(\cos u−\sin u)