Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(e) G(t, s, z)=e^z cos (s t-z).

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função G(t,s,z)=e^{z}cos(st−z). O conteúdo envolvido é derivação parcial em várias variáveis, usando regra do produto e regra da cadeia para cada variável independente.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Definindo u=st−z, temos:
Gt=partialpartial tl(e^zcos ur)=e^zcdot(-sin u)cdotpartial upartial t=-e^z ssin u,
Gs=-e^z tsin u,
Gz=partialpartial zl(e^zcos ur)=e^zcos u+e^zcdot(-sin u)cdotpartial upartial z=e^zcos u+e^zsin u

Passo 3

Agora vamos às derivadas de segunda ordem puras.
Para G_{tt}:
Gtt=partialpartial t(-e^z ssin u)=-e^z scos ucdotpartial upartial t=-e^z s^2cos u
Para G_{ss}:
Gss=-e^z tcos ucdotpartial upartial s=-e^z t^2cos u
Para G_{zz}: somando as derivadas de e^z\cos u e de e^z\sin u, obtém-se
Gzz=2e^zsin u

Passo 4

Agora as derivadas mistas.
Para G_{ts}=G_{st}:
Gts=partialpartial s(-e^z ssin u)=-e^zsin u -e^z scos ucdot t=-e^zl(sin u+stcos ur)
Para G_{tz}:
Gtz=partialpartial z(-e^z ssin u)=-e^z ssin u+e^z scos u=e^z sl(cos u-sin ur)
Para G_{sz}=G_{zs}:
Gsz=partialpartial z(-e^z tsin u)=-e^z tsin u+e^z tcos u=e^z tl(cos u-sin ur)

Resposta

Listando todas as derivadas de segunda ordem (com u=st−z):
G_{tt}=−e^z s^2\cos u
G_{ss}=−e^z t^2\cos u
G_{zz}=2e^z\sin u
G_{ts}=G_{st}=−e^z(\sin u+st\cos u)
G_{tz}=G_{zt}=e^z s(\cos u−\sin u)
G_{sz}=G_{zs}=e^z t(\cos u−\sin u)

Exercícios relacionados