Resolva o problema de valor inicial.
c d yd x+5 y=20 y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial: dydx + 5y = 20 com y(0)=2. Isso é uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Numa EDO da forma dydx + p(x)y = q(x), o fator integrante é mu(x) = e^integral p(x),dx. Aqui temos p(x)=5, logo
mu(x) = e^integral 5,dx = e^5x

Passo 3

Multiplicando toda a equação original por mu(x) obtemos uma forma exata:
e^5xdydx + 5e^5xy = 20e^5x

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada de e^5xy, isto é,
ddxl(e^5xyr) = 20e^5x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^5xy = integral 20e^5x,dx = 20 cdot e^5x5 + C = 4e^5x + C

Passo 6

Isolando y temos a solução geral:
y(x) = 4 + Ce^-5x

Passo 7

Para achar C, usamos a condição inicial y(0)=2:
2 = y(0) = 4 + Ce^0 = 4 + C implies C = 2 - 4 = -2

Passo 8

Substituindo C=-2 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x) = 4 - 2e^-5x

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