Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, para mostrar que
, usamos o teorema de Clairaut (função de classe
).
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja
. Então,
Passo 3
Agora
. Mantendo
como constante e usando a regra da cadeia em
:
Passo 4
Para
tratamos
como variável e
como constante:
Pelo teorema de Clairaut vale também
Passo 5
Finalmente
. Aqui
é constante: