Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo.
z=\operatorname{tg} x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
z = \tan(xy).
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, para mostrar que \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}, usamos o teorema de Clairaut (função de classe C^2).

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem. Seja u=xy. Então,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\operatorname{sec}^2(u)\cdot y =y\,\operatorname{sec}^2(xy),
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\operatorname{sec}^2(u)\cdot x =x\,\operatorname{sec}^2(xy).

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,\operatorname{sec}^2(xy)\bigr). Mantendo y como constante e usando a regra da cadeia em \operatorname{sec}^2(xy):
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =y\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) =y\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)\cdot y =2\,y^2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,\operatorname{sec}^2(xy)\bigr) tratamos y como variável e x como constante:
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\operatorname{sec}^2(xy) + y\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) =\operatorname{sec}^2(xy)+2\,x\,y\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy).
Pelo teorema de Clairaut vale também
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\operatorname{sec}^2(xy)+2\,x\,y\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy).

Passo 5

Finalmente \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,\operatorname{sec}^2(xy)\bigr). Aqui x é constante:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =x\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) =x\cdot 2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)\cdot x =2\,x^2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy).

Resposta

\displaystyle z_x = y\,\operatorname{sec}^2(xy) \displaystyle z_y = x\,\operatorname{sec}^2(xy) \displaystyle z_{xx} = 2\,y^2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy) \displaystyle z_{xy} = z_{yx} = \operatorname{sec}^2(xy) + 2\,x\,y\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy) \displaystyle z_{yy} = 2\,x^2\,\operatorname{sec}^2(xy)\tan(xy)

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