Use a derivação implícita para determinar frac{\partial z}{\partial x} e frac{\partial z}{\partial y}.
x^{3}+y^{3}+z^{3}=\pi

Passo 1

O enunciado define uma superfície implícita dada por
x^{3} + y^{3} + z^{3} = \pi
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^{3} + y^{3} + z^{3} = \pi
em relação a x, temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{3}\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}(\pi).
Como y e \pi são constantes em relação a x, isso resulta em
3x^{2} + 0 + 3z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{\partial z}{\partial x}, obtemos
3z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial x} = -3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^{2}}{3z^{2}} = -\frac{x^{2}}{z^{2}}.

Passo 4

Agora diferenciamos a mesma relação
x^{3} + y^{3} + z^{3} = \pi
em relação a y. Seguindo o mesmo raciocínio:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{3}\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}(\pi)
resulta em
0 + 3y^{2} + 3z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Passo 5

Isolando \frac{\partial z}{\partial y}, temos
3z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial y} = -3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3y^{2}}{3z^{2}} = -\frac{y^{2}}{z^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x^{2}}{z^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y^{2}}{z^{2}}.

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