Encontre os vetores tangentes às curvas parametrizadas no ponto correspondente ao parâmetro dado.
x=2 t^{3}, y=1+4 t-t^{2}, t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada em \mathbb{R}^2 por
x(t)=2t^3,\quad y(t)=1+4t - t^2
e pede o vetor tangente no ponto correspondente a t=1. Para isso, vamos usar que o vetor tangente é dado por
\mathbf{r}'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr)
avaliado em t=1.

Passo 2

Calculamos a derivada de x(t) em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(2t^3\bigr) = 6t^2.

Passo 3

Calculamos a derivada de y(t) em relação a t:
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(1+4t - t^2\bigr) = 4 - 2t.

Passo 4

Agora avaliamos \mathbf{r}'(t) em t=1:
\frac{dx}{dt}\Bigl|_{t=1} = 6\cdot1^2 = 6, \qquad \frac{dy}{dt}\Bigl|_{t=1} = 4 - 2\cdot1 = 2.
Portanto o vetor tangente no ponto t=1 é \bigl(6,2\bigr).

Resposta

\,(6,2)

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