Encontre os vetores tangentes às curvas parametrizadas no ponto correspondente ao parâmetro dado.
x=\cos (2 t), y=\operatorname{sen}(2 t), t=\pi.

Passo 1

Resumindo o enunciado: fomos dados a curva paramétrica (x(t),y(t))=(\cos(2t),\sin(2t)) e precisamos encontrar o vetor tangente no ponto t=\pi. Para isso, vamos usar derivação de funções paramétricas.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
\mathbf r'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=\bigl(-2\sin(2t),\,2\cos(2t)\bigr).

Passo 3

Substituindo t=\pi em \mathbf r'(t), temos
\mathbf r'(\pi)=\bigl(-2\sin(2\pi),\,2\cos(2\pi)\bigr)=\bigl(-2\cdot0,\,2\cdot1\bigr)=(0,2).

Resposta

O vetor tangente à curva no ponto correspondente a t=\pi é (0,2).

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