Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que é pedido: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem
,
,
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula explícita de
para todo . - Não há figura nem ponto especial indicado; portanto devemos analisar a expressão para pontos gerais e também checar o comportamento no ponto
.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, porque as segundas são derivadas dessas. Uma maneira prática é introduzir a notação
para simplificar escrita. Assim
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
Portanto a derivada parcial de primeira ordem em
(quando
) é
De forma análoga, diferenciando em relação a
obtemos
Nota importante sobre o ponto
: nessas fórmulas aparece divisão por
. Em
temos
, então as expressões acima não valem ali. De fato, avaliando a definição pelo quociente para
obtemos
que não existe. Logo as derivadas parciais de primeira ordem não existem em
. Consequência: não faz sentido falar em derivadas parciais de segunda ordem em
baseadas nessas primeiras derivadas.
Passo 3
Agora vamos calcular as segundas derivadas para pontos
. Reescrevemos
Vamos aplicar a regra do produto para derivar em relação a
:
Agora calculamos
. Usamos a regra da cadeia: se
então
e
. Assim
Substituindo em
obtemos
Colocando num único quociente:
Voltando à notação em
:
Passo 4
Agora calculamos a derivada mista
. Partimos de
Diferenciando em relação a
, note que
é visto como constante:
Já calculamos o padrão de
pela regra da cadeia:
, então
Portanto
Passo 5
Para
fazemos o análogo do Passo 3 trocando
por
. Começando de
e aplicando regra do produto:
Logo
Passo 6
Para
podemos derivar
em relação a
. Pelo mesmo cálculo do Passo 4 obtemos
Observação: para
as derivadas mistas coincidem, isto é
Passo 7
Recapitulando sobre a existência no ponto
: como já vimos as derivadas parciais de primeira ordem não existem em
(por exemplo
não existe), portanto as derivadas parciais de segunda ordem baseadas nessas primeiras também não existem em
. Além disso, as fórmulas encontradas para as segundas derivadas têm denominador
, que explode quando
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem não existem em
; portanto as derivadas parciais de segunda ordem também não existem em
.