Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y \partial x}.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que é pedido: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x,y) para todo (x,y).
  • Não há figura nem ponto especial indicado; portanto devemos analisar a expressão para pontos gerais e também checar o comportamento no ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, porque as segundas são derivadas dessas. Uma maneira prática é introduzir a notação
r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2},
para simplificar escrita. Assim f(x,y)=r. Usamos a regra da cadeia: a derivada de (x^{2}+y^{2})^{1/2} em relação a x é
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r}.
Portanto a derivada parcial de primeira ordem em x (quando r\neq 0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De forma análoga, diferenciando em relação a y obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Nota importante sobre o ponto (0,0): nessas fórmulas aparece divisão por r. Em (0,0) temos r=0, então as expressões acima não valem ali. De fato, avaliando a definição pelo quociente para f_x(0,0) obtemos
\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h},
que não existe. Logo as derivadas parciais de primeira ordem não existem em (0,0). Consequência: não faz sentido falar em derivadas parciais de segunda ordem em (0,0) baseadas nessas primeiras derivadas.

Passo 3

Agora vamos calcular as segundas derivadas para pontos (x,y)\neq(0,0). Reescrevemos
\frac{\partial f}{\partial x}=x\,r^{-1}.
Vamos aplicar a regra do produto para derivar em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,r^{-1}\big) =1\cdot r^{-1}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-1}\big).
Agora calculamos \dfrac{\partial}{\partial x}(r^{-1}). Usamos a regra da cadeia: se g(r)=r^{-1} então g'(r)=-r^{-2} e \dfrac{\partial r}{\partial x}=x/r. Assim
\frac{\partial}{\partial x}\big(r^{-1}\big)=-r^{-2}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} =-r^{-2}\cdot\frac{x}{r}=-\frac{x}{r^{3}}.
Substituindo em \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =r^{-1}+x\left(-\frac{x}{r^{3}}\right) =\frac{1}{r}-\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Colocando num único quociente:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}} =\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}}{r^{3}} =\frac{y^{2}}{r^{3}}.
Voltando à notação em x,y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Agora calculamos a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x}=x\,r^{-1}.
Diferenciando em relação a y, note que x é visto como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} =x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(r^{-1}\big).
Já calculamos o padrão de \dfrac{\partial}{\partial y}(r^{-1}) pela regra da cadeia: \dfrac{\partial r}{\partial y}=y/r, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(r^{-1}\big)=-r^{-2}\cdot\frac{y}{r}=-\frac{y}{r^{3}}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=-\frac{xy}{r^{3}}=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} fazemos o análogo do Passo 3 trocando x por y. Começando de \dfrac{\partial f}{\partial y}=y\,r^{-1} e aplicando regra do produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{1}{r}-\frac{y^{2}}{r^{3}}=\frac{r^{2}-y^{2}}{r^{3}}=\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 6

Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} podemos derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=y\,r^{-1} em relação a x. Pelo mesmo cálculo do Passo 4 obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x,y)=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
Observação: para (x,y)\neq(0,0) as derivadas mistas coincidem, isto é
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 7

Recapitulando sobre a existência no ponto (0,0): como já vimos as derivadas parciais de primeira ordem não existem em (0,0) (por exemplo f_x(0,0) não existe), portanto as derivadas parciais de segunda ordem baseadas nessas primeiras também não existem em (0,0). Além disso, as fórmulas encontradas para as segundas derivadas têm denominador (x^{2}+y^{2})^{3/2}, que explode quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad (x,y)\neq(0,0)
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x,y)=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad (x,y)\neq(0,0)
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad (x,y)\neq(0,0)
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x,y)=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\quad (x,y)\neq(0,0)
As derivadas parciais de primeira ordem não existem em (0,0); portanto as derivadas parciais de segunda ordem também não existem em (0,0).

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