Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
, ou seja:
A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é um polinômio em e (portanto é suave: todas as derivadas necessárias existem e são contínuas). - Precisa-se primeiro das derivadas parciais de primeira ordem para depois obter as de segunda ordem.
Passo 2
Lembraço rápida do que é derivada parcial e da regra usada:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de considerando como constante. - A derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada de considerando como constante. - Usaremos a regra do poder: a derivada de
em relação a é . Se tiver um fator que não depende da variável (por exemplo ao derivar em ), ele é tratado como constante.
Agora calculemos as derivadas de primeira ordem, termo a termo.
Derivada parcial em relação a
:
No primeiro termo,
é constante frente a
, então
No segundo termo,
é constante, então
Portanto
Derivada parcial em relação a
:
Agora
e
são constantes frente a
. Assim
Logo
Passo 3
Agora calculamos
, isto é a derivada em
da derivada parcial
.
Começamos de
Derivando termo a termo em relação a
:
- Para
: é constante, então a derivada é . - Para
: é constante, então a derivada é .
Portanto
Passo 4
Agora calculamos
, isto é a derivada em
da derivada parcial
.
Partimos de
Derivando termo a termo em relação a
:
- Para
: é constante, derivada é . - Para
: é constante, derivada é .
Logo
Passo 5
Calculemos
, a derivada em
da derivada parcial
.
Temos
Derivando em relação a
:
- Para
: é constante, derivada é . - Para
: é constante em , derivada é .
Portanto
Passo 6
Finalmente calculemos
, a derivada em
da derivada parcial
.
Partimos de
Derivando em relação a
:
- Para
: é constante, derivada é . - Para
: derivada é .
Logo
Observação útil para a prova: como
é polinomial, todas as segundas derivadas são contínuas, portanto os dois mistas coincidem: