Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f(.)}{\partial y \partial x}.
f(x, y)=x^{3} y^{5}+2 x^{4} y

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f, ou seja:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
A função dada é
f(x,y)=x^{3}y^{5}+2x^{4}y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f é um polinômio em x e y (portanto é suave: todas as derivadas necessárias existem e são contínuas).
  • Precisa-se primeiro das derivadas parciais de primeira ordem para depois obter as de segunda ordem.

Passo 2

Lembraço rápida do que é derivada parcial e da regra usada:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada de f considerando y como constante.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \dfrac{\partial f}{\partial y}, é a derivada de f considerando x como constante.
  • Usaremos a regra do poder: a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Se tiver um fator que não depende da variável (por exemplo y^{5} ao derivar em x), ele é tratado como constante.
Agora calculemos as derivadas de primeira ordem, termo a termo.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}y\bigr).
No primeiro termo, y^{5} é constante frente a x, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr)=3x^{2}y^{5}.
No segundo termo, 2y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}y\bigr)=2y\cdot 4x^{3}=8x^{3}y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}+8x^{3}y.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{4}y\bigr).
Agora x^{3} e 2x^{4} são constantes frente a y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{5}\bigr)=x^{3}\cdot 5y^{4}=5x^{3}y^{4},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{4}y\bigr)=2x^{4}\cdot 1=2x^{4}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}+2x^{4}.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, isto é a derivada em x da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Começamos de
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}+8x^{3}y.
Derivando termo a termo em relação a x:
  • Para 3x^{2}y^{5}: y^{5} é constante, então a derivada é 3\cdot 2x^{1}y^{5}=6xy^{5}.
  • Para 8x^{3}y: y é constante, então a derivada é 8\cdot 3x^{2}y=24x^{2}y.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{5}+24x^{2}y.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, isto é a derivada em y da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}+8x^{3}y.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • Para 3x^{2}y^{5}: 3x^{2} é constante, derivada é 3x^{2}\cdot 5y^{4}=15x^{2}y^{4}.
  • Para 8x^{3}y: 8x^{3} é constante, derivada é 8x^{3}\cdot 1=8x^{3}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=15x^{2}y^{4}+8x^{3}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, a derivada em y da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Temos
\frac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}+2x^{4}.
Derivando em relação a y:
  • Para 5x^{3}y^{4}: 5x^{3} é constante, derivada é 5x^{3}\cdot 4y^{3}=20x^{3}y^{3}.
  • Para 2x^{4}: é constante em y, derivada é 0.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=20x^{3}y^{3}.

Passo 6

Finalmente calculemos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, a derivada em x da derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Partimos de
\frac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}+2x^{4}.
Derivando em relação a x:
  • Para 5x^{3}y^{4}: y^{4} é constante, derivada é 5\cdot 3x^{2}y^{4}=15x^{2}y^{4}.
  • Para 2x^{4}: derivada é 2\cdot 4x^{3}=8x^{3}.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}+8x^{3}.
Observação útil para a prova: como f é polinomial, todas as segundas derivadas são contínuas, portanto os dois mistas coincidem:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}+8x^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{5}+24x^{2}y
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=15x^{2}y^{4}+8x^{3}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=20x^{3}y^{3}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}+8x^{3}

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