Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Vamos usar conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia: para
, temos
e
. Precisamos do gradiente
e depois derivar cada componente novamente.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Defina
. Então
Como
Passo 3
Agora derivamos essas componentes para obter as segundas derivadas. Primeiro as que envolvem
:
Passo 4
Em seguida as que envolvem
:
como
Passo 5
e como
,
Passo 6
Por fim a derivada dupla em
:
com
Passo 7
Como as mistas satisfazem a simetria
, temos também
,
e
.