Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
v=e^x y^z

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função v = e^x y^z. Vamos usar conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia: para v = e^u, temos vu = e^u e u = x y^z. Precisamos do gradiente (vx,vy,vz) e depois derivar cada componente novamente.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Defina u = x y^z. Então
ux = y^z, uy = x,z,y^z-1, uz = x,y^zln(y)
Como v = e^u, vale vx = vu,ux = e^u y^z, vy = e^u xz y^z-1 e vz = e^u x y^zln(y).

Passo 3

Agora derivamos essas componentes para obter as segundas derivadas. Primeiro as que envolvem x:
vxx = partialpartial x(y^z e^u)=y^z,e^u,ux=y^2ze^u,
vxy = partialpartial y(y^z e^u)=z y^z-1e^u + y^z e^u,uy = z y^z-1(1 + x y^z)e^u,
vxz = partialpartial z(y^z e^u)=y^zln(y)e^u + y^z e^u,uz= y^zln(y)(1 + x y^z)e^u

Passo 4

Em seguida as que envolvem y:
vyy = partialpartial y(x z y^z-1e^u)= xz(z-1)y^z-2e^u + xz y^z-1e^u,uy,
como uy=xz y^z-1, resulta
vyy = l(xz(z-1)y^z-2 + x^2z^2y^2z-2r)e^u
vyz = partialpartial z(x z y^z-1e^u) = l(xy^z-1 + xz y^z-1ln(y)r)e^u + xz y^z-1e^u,uz,

Passo 5

e como uz=x y^zln(y),
vyz = l(xy^z-1 + xz y^z-1ln(y) + x^2z y^2z-1ln(y)r)e^u

Passo 6

Por fim a derivada dupla em z:
vzz = partialpartial zl(xy^zln(y)e^ur) = x y^z(ln(y))^2e^u + xy^zln(y)e^u,uz,
com uz=x y^zln(y), obtemos
vzz = x y^z(ln(y))^2(1 + x y^z)e^u

Passo 7

Como as mistas satisfazem a simetria vij=vji, temos também vyx=vxy, vzx=vxz e vzy=vyz.

Resposta

vxx = y^2ze^x y^z
vxy = z y^z-1(1 + x y^z)e^x y^z, vxz = y^zln(y)(1 + x y^z)e^x y^z
vyy = l(xz(z-1)y^z-2 + x^2z^2y^2z-2r)e^x y^z, vyz = l(xy^z-1 + xz y^z-1ln(y) + x^2z y^2z-1ln(y)r)e^x y^z
vzz = x y^z(ln(y))^2(1 + x y^z)e^x y^z

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