Seja
a semi-circunferência
, com
, percorrida no sentido anti-horário. Calcule
Escolha uma opção:
-
-
○ 0
-
○
○ 0
○
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a semi-circunferência
percorrida no sentido anti-horário, sendo
$$P(x,y)=\frac{y}{x2+4y2},\quad Q(x,y)=-\frac{x}{x2+4y2}.
$$
O conteúdo principal envolve parametrização de curvas e cálculo de integrais trigonométricas do tipo .
O conteúdo principal envolve parametrização de curvas e cálculo de integrais trigonométricas do tipo
Passo 2
Vamos parametrizar
por
o que dá
Substituindo em
:
Passo 3
Logo a integral torna-se
$$I=-\int_0{\pi}\frac{dt}{1+3\sin2t}.
$$
Passo 4
Nota que a função é simétrica em
, então
$$I=-2\int_0{\pi/2}\frac{dt}{1+3\sin2t}.
$$
Passo 5
Usamos a fórmula padrão
$$\int_0{\pi/2}\frac{dt}{a+b\sin2t}=\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+b)}}
$$
Resposta
-\frac{\pi}{2}