Seja C a semi-circunferência x^2+y^2=1, com y >= 0, percorrida no sentido anti-horário. Calcule
integralC yx^2+4 y^2 d x-xx^2+4 y^2 d y
Escolha uma opção:
  • -pi
  • -pi2
    ○ 0
  • pi2
    pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC P,dx + Q,dy sobre a semi-circunferência x^2+y^2=1, y>=0 percorrida no sentido anti-horário, sendo
$$P(x,y)=\frac{y}{x2+4y2},\quad Q(x,y)=-\frac{x}{x2+4y2}.
$$
O conteúdo principal envolve parametrização de curvas e cálculo de integrais trigonométricas do tipo P(x,y)=yx^2+4y^2, Q(x,y)=-xx^2+4y^2 .

Passo 2

Vamos parametrizar C por
x( t)=cos t, y(t)=sin t, tin[0,pi],
o que dá
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt
Substituindo em P,dx + Q,dy:

Passo 3

P,dx+Q,dy =sin tcos^2t+4sin^2t(-sin t,dt) -cos tcos^2t+4sin^2t(cos t,dt) =-sin^2t+cos^2tcos^2t+4sin^2t,dt =-11+3sin^2t,dt
Logo a integral torna-se
$$I=-\int_0{\pi}\frac{dt}{1+3\sin2t}.
$$

Passo 4

Nota que a função é simétrica em [0,pi], então
$$I=-2\int_0{\pi/2}\frac{dt}{1+3\sin2t}.
I=-2integral0^pi/2dt1+3sin^2t J=\int_0{\pi/2}\frac{dt}{1+3\sin2t}.
$$

Passo 5

Usamos a fórmula padrão
$$\int_0{\pi/2}\frac{dt}{a+b\sin2t}=\frac{\pi}{2\sqrt{a(a+b)}}
integral0^pi/2dta+bsin^2t=pi2raiza(a+b) J=\frac{\pi}{2\sqrt{1\cdot4}}=\frac{\pi}{4}.
a=1I=-2J=-2\cdot\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}.
$$

Resposta

-\frac{\pi}{2}

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