A produção
de trigo em um determinado ano depende da temperatura média
e da quantidade anual de chuva
. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de
/ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de
ano . Eles também estimam que, no atual nível de produção,
e
.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Passo 1
Resumindo o enunciado: a produção de trigo
é função de duas variáveis, a temperatura média anual
e a quantidade anual de chuva
. Sabemos que
e
,
além de e
no ponto de operação atual. A questão (a) pede o significado dos sinais dessas derivadas parciais e (b) quer a taxa total de variação .
além de
no ponto de operação atual. A questão (a) pede o significado dos sinais dessas derivadas parciais e (b) quer a taxa total de variação
Passo 2
A derivada parcial
significa que, ao manter
fixa, um aumento de
em
faz a produção
diminuir em
unidades. De modo análogo,
indica que, ao manter
fixa, um acréscimo de
de chuva faz
crescer em
unidades.
Passo 3
Para estimar a variação total de
no tempo, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Resposta
(a)
significa que, com chuva constante, cada aumento de
reduz
em
unidades;
significa que, com temperatura constante, cada centímetro adicional de chuva eleva
em
unidades.
(b) (unidades de produção por ano).
(b)