A produção W de trigo em um determinado ano depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15^{\circ} \mathrm{C} /ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1 \mathrm{~cm} / ano . Eles também estimam que, no atual nível de produção, \partial W / \partial T=-2 e \partial W / \partial R=8.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo d W / d t.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a produção de trigo W é função de duas variáveis, a temperatura média anual T e a quantidade anual de chuva R. Sabemos que \displaystyle \frac{dT}{dt}=0,15\;^\circ\mathrm{C}/\mathrm{ano} e \displaystyle \frac{dR}{dt}=-0,1\;\mathrm{cm}/\mathrm{ano},
além de \displaystyle \frac{\partial W}{\partial T}=-2 e \displaystyle \frac{\partial W}{\partial R}=8
no ponto de operação atual. A questão (a) pede o significado dos sinais dessas derivadas parciais e (b) quer a taxa total de variação \displaystyle dW/dt.

Passo 2

A derivada parcial \displaystyle \frac{\partial W}{\partial T}=-2 significa que, ao manter R fixa, um aumento de 1{}^\circ\mathrm{C} em T faz a produção W diminuir em 2 unidades. De modo análogo, \displaystyle \frac{\partial W}{\partial R}=8 indica que, ao manter T fixa, um acréscimo de 1\;\mathrm{cm} de chuva faz W crescer em 8 unidades.

Passo 3

Para estimar a variação total de W no tempo, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{dW}{dt} =\frac{\partial W}{\partial T}\,\frac{dT}{dt} +\frac{\partial W}{\partial R}\,\frac{dR}{dt}.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
\frac{dW}{dt} =(-2)\cdot 0,15 \;+\; 8\cdot(-0,1) =-0,30 -0,80 =-1,10.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial W}{\partial T}=-2 significa que, com chuva constante, cada aumento de 1{}^\circ\mathrm{C} reduz W em 2 unidades; \displaystyle \frac{\partial W}{\partial R}=8 significa que, com temperatura constante, cada centímetro adicional de chuva eleva W em 8 unidades.
(b) \displaystyle \frac{dW}{dt}=-1,10 (unidades de produção por ano).

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