Seja
definida por
. a) Prove que
é bijetora. b) Determine
e verifique que
para todo
.
Passo 1
O enunciado define a função
O conteúdo é bijetividade de funções e inversa. Vamos mostrar que
é injetora e sobrejetora e, em seguida, achar
e verificar a composição.
Passo 2
(injetividade) Suponha que
Isso é
Multiplicando cruzado,
expande e simplifica-se em
Logo
é injetora.
Passo 3
(sobrejetividade) Seja
. Queremos
tal que
Resolvendo em
:
Como
, o denominador não é zero e essa
está bem definida. Além disso, se fosse
teríamos
, o que é impossível. Então
e
. Logo
é sobrejetora.
Passo 4
Concluímos que
é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.
Passo 5
A partir da resolução do passo anterior, a função inversa é
Passo 6
(verificação de
) Para
, calculemos
Então
Resposta
a) A função
é bijetora.
b)
b)
e de fato
para todo
.