Seja f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{2\} definida por f(x)=\frac{2 x+3}{x-1}. a) Prove que f é bijetora. b) Determine f^{-1}(y) e verifique que f^{-1}(f(x))=x para todo x \neq 1.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\to \mathbb{R}\setminus\{2\},\qquad f(x)=\frac{2x+3}{\,x-1\,}.
O conteúdo é bijetividade de funções e inversa. Vamos mostrar que f é injetora e sobrejetora e, em seguida, achar f^{-1} e verificar a composição.

Passo 2

(injetividade) Suponha que
f(x_1)=f(x_2).
Isso é
\frac{2x_1+3}{x_1-1}=\frac{2x_2+3}{x_2-1}.
Multiplicando cruzado,
(2x_1+3)(x_2-1)=(2x_2+3)(x_1-1)
expande e simplifica-se em
2x_1x_2-2x_1+3x_2-3 = 2x_1x_2-2x_2+3x_1-3
\Longrightarrow -2x_1+3x_2 = -2x_2+3x_1 \quad\Longrightarrow\quad 5x_2 = 5x_1 \quad\Longrightarrow\quad x_1=x_2.
Logo f é injetora.

Passo 3

(sobrejetividade) Seja y\in \mathbb{R}\setminus\{2\}. Queremos x\neq1 tal que
\frac{2x+3}{x-1}=y.
Resolvendo em x:
y(x-1)=2x+3 \quad\Longrightarrow\quad yx - y = 2x+3 \quad\Longrightarrow\quad x(y-2)=y+3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y+3}{y-2}.
Como y\neq2, o denominador não é zero e essa x está bem definida. Além disso, se fosse \tfrac{y+3}{y-2}=1 teríamos y+3 = y-2, o que é impossível. Então x\neq1 e f(x)=y. Logo f é sobrejetora.

Passo 4

Concluímos que f é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Passo 5

A partir da resolução do passo anterior, a função inversa é
f^{-1}\colon \mathbb{R}\setminus\{2\}\to \mathbb{R}\setminus\{1\}, \qquad f^{-1}(y)=\frac{y+3}{y-2}.

Passo 6

(verificação de f^{-1}\circ f) Para x\neq1, calculemos
f(x)+3 = \frac{2x+3}{x-1}+3 = \frac{2x+3 + 3(x-1)}{x-1} = \frac{5x}{x-1},
f(x)-2 = \frac{2x+3}{x-1}-2 = \frac{2x+3 - 2(x-1)}{x-1} = \frac{5}{x-1}.
Então
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = \frac{\,f(x)+3\,}{\,f(x)-2\,} = \frac{\frac{5x}{x-1}}{\frac{5}{x-1}} = x.

Resposta

a) A função f é bijetora.
b)
f^{-1}(y)=\frac{y+3}{y-2},
e de fato f^{-1}(f(x))=x para todo x\neq1.

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