Determine todas as matrizes que comutam com \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], sendo c \neq 0.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com a condição c\neq 0, e pede: determinar todas as matrizes X (2×2) que comutam com M, isto é, todas as matrizes X tais que
XM=MX.
Informações relevantes fornecidas:
M é uma matriz 2\times2 com entradas a,b,c,d.
Está explícito que c\neq 0.
Deve-se encontrar a descrição geral de todas as X que satisfeçam XM=MX.]
Passo 2
Vamos escrever a matriz incógnita X em termos das suas entradas e calcular XM e MX. Seja
X=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix},
com x,y,z,w desconhecidos. Calculemos XM e MX explicitamente:
XM=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}xa+yc & xb+yd\\[4pt] za+wc & zb+wd\end{pmatrix},
MX=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+bz & ay+bw\\[4pt] cx+dz & cy+dw\end{pmatrix}.]
Passo 3
Impondo XM=MX\) igualamos termo a termo. Das igualdades das quatro entradas obtemos:
\[\begin{cases} xa+yc = ax + bz,\\[4pt] xb+yd = ay + bw,\\[4pt] za+wc = cx + dz,\\[4pt] zb+wd = cy + dw. \end{cases}
Simplificando cada equação (notando que (xa=ax] etc.) obtemos as equações independentes essenciais: \begin{cases} c\,y = b\,z,\\[4pt] b\,(x-w) = (a-d)\,y,\\[4pt] c\,(w-x) = (d-a)\,z. \end{cases}
A quarta equação é redundante (é equivalente à primeira). Vamos trabalhar com esse sistema reduzido.]
Passo 4
Analisemos e resolvamos o sistema. Chame \Delta = a-d\) para simplificar a escrita. O sistema é
\[\begin{cases} c\,y = b\,z,\\[4pt] b\,(x-w) = \Delta\,y,\\[4pt] c\,(w-x) = -\Delta\,z. \end{cases}
Note que a terceira equação é equivalente a
x-w = \frac{\Delta}{c}\,z,
pois c\neq 0\]. Da segunda equação obtemos
\[x-w = \frac{\Delta}{b}\,y\quad\text{(quando \(b\neq0)}.]
Mas as duas expressões para x-w são consistentes porque a primeira equação dá y=\dfrac{b}{c}z, logo
Assim tudo é consistente e podemos parametrizar as soluções de forma simples. Tome t e s como parâmetros livres (podem ser quaisquer escalares no mesmo corpo que as entradas de M). Escolha
z=t,\qquad s=x\text{ (apenas um nome para uma livre escolha)},
então pelas relações temos
y=\frac{b}{c}\,t, \qquad x-w=\frac{\Delta}{c}\,t,
ou seja, escolhendo w=s como livre também (poderíamos reparametrizar), obtemos
Portanto a matriz X geral que comuta com M tem a forma
X=\begin{pmatrix} s+\dfrac{a-d}{c}\,t & \dfrac{b}{c}\,t\\[6pt] t & s \end{pmatrix},
com s,t arbitrários. Esta expressão é válida tanto se \Delta=a-d for zero quanto se for não nulo (quando \Delta=0 a fórmula ancora-se com \dfrac{\Delta}{c}=0 e ainda obtemos x=w=s e y=\tfrac{b}{c}t, que coincide com a solução do caso \Delta=0).]
Passo 5
Interpretação mais compacta e consequência: podemos reescrever a solução como combinação linear de I e M. Observe que
M-dI=\begin{pmatrix}a-d & b\\[4pt] c & 0\end{pmatrix},
logo, tomando os mesmos parâmetros s,t,
X=sI+\frac{t}{c}\,(M-dI).
Reorganizando,
X=\left(s-\frac{td}{c}\right)I+\frac{t}{c}\,M,
ou seja, existe \alpha,\beta tais que
X=\alpha I+\beta M.
Portanto o conjunto de todas as matrizes que comutam com M é exatamente o conjunto das combinações lineares de I e M (um espaço de dimensão 2): todas as matrizes da forma X=\alpha I+\beta M com \alpha,\beta escalares arbitrários. A forma explícita em termos de entradas está dada acima.]
Resposta
Todas as matrizes que comutam com \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} (com c\neq 0) são exatamente as matrizes
\begin{pmatrix} s+\dfrac{a-d}{c}\,t & \dfrac{b}{c}\,t\\[6pt] t & s \end{pmatrix},