Uma matriz quadrada
chama-se nilpotente se existir um inteiro
tal que
. Sejam
e
matrizes nilpotentes
tais que
. Mostre que
e
são também nilpotentes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
-
Informações dadas:
-
e são matrizes . -
é nilpotente: existe um inteiro tal que . -
é nilpotente: existe um inteiro tal que . - As matrizes comutam:
.
-
-
O que pedir:
- Mostrar que
é nilpotente (ou seja, existe com ). - Mostrar que
é nilpotente (ou seja, existe com ).
- Mostrar que
A partir daqui vou desenvolver passo a passo as ideias necessárias para provar cada uma dessas afirmações, explicando as ferramentas usadas (indução, reorganização de produtos quando há comutação, e a fórmula do binômio para matrizes que comutam).
Passo 2
Lema preparatório: se
e
comutam (
), então para todo inteiro
vale
Prova do lema (por indução) — explico devagar porque é útil na prova de nilpotência de
.
-
Base
: trivial, . -
Passo indutivo: suponha que
para algum . Então Comoe comutam, podemos trocar posições de e quando necessário; em particular . Então Assim a fórmula vale para. Por indução, vale para todo .
Observação didática rápida: garantir que
também se prova por indução sobre
; a comutação
é a base e a hipótese indutiva permite a troca repetida. Esse tipo de permutações é o que torna possível escrever
como
.
Passo 3
Usando o lema, provamos que
é nilpotente.
- Seja
tal que (dado pelo enunciado). Pelo lema, para esse mesmo temos - Mas
, então . - Conclusão:
, logo é nilpotente (com expoente ao mais ).
Comentário amigo: foi simples — como
já zera, multiplicar à direita por qualquer
também zera; a hipótese de comutação nos permitiu escrever
na forma
.
Passo 4
Agora a parte do somatório: precisamos da versão do binômio para matrizes quando as matrizes comutam. Vou provar que, se
e
comutam, então para todo inteiro
vale
Prova por indução (esta é a mesma ideia do binômio de Newton, mas requer comutação para reordenar termos):
-
Base
: e a soma , ok. -
Passo indutivo: suponha a fórmula para
. Então Multiplicando cada termo e usando que podemos permutarcom potências de (pois há comutação), obtemos Reagrupando termos e usando a identidade de Pascal(com as adaptações nas extremidades), a soma fica comprovando a fórmula para. Assim ela vale para todo .
Observação prática: a comutação é crucial — sem ela o desenvolvimento gera termos na ordem misturada (por exemplo
não se transforma em
sem trocar fatores).
Passo 5
Usando a fórmula do binômio, mostramos que
é nilpotente.
- Seja
com e com (dados do enunciado). Considere . - Pela fórmula do binômio para matrizes comutantes,
- Análise de cada termo da soma: para um índice
qualquer com , ou -
, então (pois e implica potências maiores também são ); ou -
, então , logo .
-
- Em qualquer caso, cada termo
é a matriz nula. Portanto a soma inteira é a matriz nula: - Conclusão:
é nilpotente. Além disso, demos um limite explícito para o expoente: pode tomar .
Breve exemplo para fixar a intuição: se
e
, então comutando temos
pela mesma razão — cada termo do binômio tem ou
elevado ao menos a
ou
elevado ao menos a
.