Uma matriz quadrada A chama-se nilpotente se existir um inteiro r>0 tal que A^{r}=\mathbf{0}. Sejam A e B matrizes nilpotentes n \times n tais que A B=B A. Mostre que A B e A+B são também nilpotentes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Informações dadas:
    • A e B são matrizes n\times n.
    • A é nilpotente: existe um inteiro r>0 tal que \,A^{r}=\mathbf{0}\,.
    • B é nilpotente: existe um inteiro s>0 tal que \,B^{s}=\mathbf{0}\,.
    • As matrizes comutam: A B = B A.
  • O que pedir:
    1. Mostrar que A B é nilpotente (ou seja, existe m>0 com (AB)^{m}=\mathbf{0}).
    2. Mostrar que A+B é nilpotente (ou seja, existe N>0 com (A+B)^{N}=\mathbf{0}).
A partir daqui vou desenvolver passo a passo as ideias necessárias para provar cada uma dessas afirmações, explicando as ferramentas usadas (indução, reorganização de produtos quando há comutação, e a fórmula do binômio para matrizes que comutam).

Passo 2

Lema preparatório: se A e B comutam ( AB=BA), então para todo inteiro m\ge1 vale
(AB)^{m}=A^{m}B^{m}.
Prova do lema (por indução) — explico devagar porque é útil na prova de nilpotência de AB.
  • Base m=1: trivial, (AB)^1 = AB = A^1 B^1.
  • Passo indutivo: suponha que (AB)^{m}=A^{m}B^{m} para algum m\ge1. Então
    (AB)^{m+1}=(AB)^{m}\,(AB)=A^{m}B^{m}AB.
    Como A e B comutam, podemos trocar posições de A e B quando necessário; em particular B^{m}A = A B^{m}. Então
    A^{m}B^{m}AB = A^{m}(B^{m}A)B = A^{m}(A B^{m})B = A^{m+1}B^{m+1}.
    Assim a fórmula vale para m+1. Por indução, vale para todo m\ge1.
Observação didática rápida: garantir que B^{m}A = A B^{m} também se prova por indução sobre m; a comutação AB=BA é a base e a hipótese indutiva permite a troca repetida. Esse tipo de permutações é o que torna possível escrever (AB)^m como A^m B^m.

Passo 3

Usando o lema, provamos que AB é nilpotente.
  • Seja r>0 tal que \,A^{r}=\mathbf{0}\, (dado pelo enunciado). Pelo lema, para esse mesmo r temos (AB)^{r}=A^{r}B^{r}.
  • Mas A^{r}=\mathbf{0}, então A^{r}B^{r}=\mathbf{0}\cdot B^{r}=\mathbf{0}.
  • Conclusão: (AB)^{r}=\mathbf{0}, logo AB é nilpotente (com expoente ao mais r).
Comentário amigo: foi simples — como A^r já zera, multiplicar à direita por qualquer B^r também zera; a hipótese de comutação nos permitiu escrever (AB)^r na forma A^r B^r.

Passo 4

Agora a parte do somatório: precisamos da versão do binômio para matrizes quando as matrizes comutam. Vou provar que, se A e B comutam, então para todo inteiro N\ge0 vale
(A+B)^{N}=\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}A^{k}B^{N-k}.
Prova por indução (esta é a mesma ideia do binômio de Newton, mas requer comutação para reordenar termos):
  • Base N=0: (A+B)^0=I e a soma \sum_{k=0}^{0}\binom{0}{k}A^{k}B^{0-k}=\binom{0}{0}A^{0}B^{0}=I, ok.
  • Passo indutivo: suponha a fórmula para N. Então
    (A+B)^{N+1}=(A+B)^{N}(A+B) =\left(\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}A^{k}B^{N-k}\right)(A+B).
    Multiplicando cada termo e usando que podemos permutar A com potências de B (pois há comutação), obtemos
    (A+B)^{N+1} =\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}\bigl(A^{k+1}B^{N-k}+A^{k}B^{N-k+1}\bigr).
    Reagrupando termos e usando a identidade de Pascal \binom{N}{k}+\binom{N}{k-1}=\binom{N+1}{k} (com as adaptações nas extremidades), a soma fica
    (A+B)^{N+1}=\sum_{k=0}^{N+1}\binom{N+1}{k}A^{k}B^{N+1-k},
    comprovando a fórmula para N+1. Assim ela vale para todo N.
Observação prática: a comutação é crucial — sem ela o desenvolvimento gera termos na ordem misturada (por exemplo AB A não se transforma em A^2 B sem trocar fatores).

Passo 5

Usando a fórmula do binômio, mostramos que A+B é nilpotente.
  • Seja r>0 com A^{r}=\mathbf{0} e s>0 com B^{s}=\mathbf{0} (dados do enunciado). Considere N=r+s-1.
  • Pela fórmula do binômio para matrizes comutantes, (A+B)^{N}=\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}A^{k}B^{N-k}.
  • Análise de cada termo da soma: para um índice k qualquer com 0\le k\le N, ou
    • k\ge r, então A^{k}=\mathbf{0} (pois k\ge r e A^{r}=\mathbf{0} implica potências maiores também são \mathbf{0}); ou
    • k\le r-1, então N-k \ge (r+s-1)-(r-1)=s, logo B^{N-k}=\mathbf{0}.
  • Em qualquer caso, cada termo \binom{N}{k}A^{k}B^{N-k} é a matriz nula. Portanto a soma inteira é a matriz nula: (A+B)^{N}=\mathbf{0}.
  • Conclusão: A+B é nilpotente. Além disso, demos um limite explícito para o expoente: pode tomar N=r+s-1.
Breve exemplo para fixar a intuição: se A^{2}=\mathbf{0} e B^{3}=\mathbf{0}, então comutando temos (A+B)^{2+3-1}=(A+B)^{4}=\mathbf{0} pela mesma razão — cada termo do binômio tem ou A elevado ao menos a 2 ou B elevado ao menos a 3.

Resposta

AB é nilpotente.
A+B é nilpotente.

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